Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
grad F

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a expressão gradvec F, sabendo que vec F é um campo vetorial e que normalmente gradf está definido para campos escalares f. Vamos revisar o que significa “aplicar” o operador gradiente a um campo vetorial.

Passo 2

O operador gradiente é nabla. Para um escalar f, temos
gradf = nabla f = l(partialxf,;partialyf,;partialzfr),
isto é, um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f.

Passo 3

Para um campo vetorial F=(F1,F2,F3), podemos aplicar nabla a cada componente Fi. O resultado é a matriz jacobiana
gradF = nablaF = partialxF1 & partialyF1 & partialzF1[6pt] partialxF2 & partialyF2 & partialzF2[6pt] partialxF3 & partialyF3 & partialzF3 ]

Passo 4

Essa matriz varia de ponto a ponto, ou seja, é um campo de matrizes. Em linguagem de tensores, é um tensor de segunda ordem (tipo (1,1)). Portanto não é nem escalar nem vetor, mas sim um campo tensorial de ordem 2.

Resposta

A expressão gradvec F faz sentido e corresponde à matriz jacobiana de vec F. Trata-se de um campo tensorial de segunda ordem, não de um campo escalar nem de um campo vetorial.

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