Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a expressão , sabendo que é um campo vetorial e que normalmente está definido para campos escalares . Vamos revisar o que significa “aplicar” o operador gradiente a um campo vetorial.
Passo 2
O operador gradiente é . Para um escalar , temos
isto é, um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de .
Passo 3
Para um campo vetorial , podemos aplicar a cada componente . O resultado é a matriz jacobiana
]
Passo 4
Essa matriz varia de ponto a ponto, ou seja, é um campo de matrizes. Em linguagem de tensores, é um tensor de segunda ordem (tipo (1,1)). Portanto não é nem escalar nem vetor, mas sim um campo tensorial de ordem 2.
Resposta
A expressão gradvec F faz sentido e corresponde à matriz jacobiana de vec F. Trata-se de um campo tensorial de segunda ordem, não de um campo escalar nem de um campo vetorial.