Determine o comprimento da curva polar.
(d) r=a e^theta, a>0,-2 pi <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada em coordenadas polares por
r = a e^theta, a>0, -2pi <= theta <= 2pi
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
L = integraltheta1^theta2 raizr^2 + gl(drdthetagr)^2;dtheta

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r em relação a theta. Como r = a e^theta, temos
drdtheta = a e^theta

Passo 3

Substituímos r e tfracdrdtheta na integranda:
r^2 + l(drdthetar)^2 = (a e^theta)^2 + (a e^theta)^2 = 2a^2 e^2theta
Logo,
raizr^2 + l(tfracdrdthetar)^2 = raiz2a^2 e^2theta = araiz2,e^theta

Passo 4

O comprimento L fica
L = integral-2pi^2pi araiz2,e^theta;dtheta = araiz2integral-2pi^2pi e^theta;dtheta = araiz2l[e^thetar]-2pi^2pi

Passo 5

Avaliando o intervalo,
L = araiz2l(e^2pi - e^-2pir) = 2araiz2,sinhl(2pir)

Resposta

L = araiz2l(e^2pi - e^-2pir) ou L = 2araiz2,sinh(2pi)

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