Sob quais condições a função linear f(x)=m x+b, m neq 0, é uma transformação linear?

Passo 1

O enunciado fornece a função f: Rto R dada por
f(x)=m,x+b, mneq0
e pergunta sob quais condições essa f é uma transformação linear, ou seja, preserva soma e multiplicação escalar em R.

Passo 2

Uma aplicação f é transformação linear se, para quaisquer x,yin R e escalares alpha,betain R, vale
f(alpha x+beta y)=alpha,f(x)+beta,f(y)

Passo 3

Uma condição imediata e equivalente é que
f(0)=0
Aqui
f(0)=mcdot0+b=b,
logo precisamos de b=0.

Passo 4

Para conferir consistência, verificamos a homogeneidade quando b=0:
f(alpha x)=m(alpha x)=alpha (m x)=alpha f(x),
e a aditividade:
f(x+y)=m(x+y)=m x+m y=f(x)+f(y)
Portanto, com b=0, f satisfaz todas as propriedades de transformação linear.

Resposta

A função f(x)=m,x+b é transformação linear exatamente quando
b=0,
isto é, f(x)=m,x.

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