Sob quais condições a função linear
,
, é uma transformação linear?
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
e pergunta sob quais condições essa
é uma transformação linear, ou seja, preserva soma e multiplicação escalar em
.
Passo 2
Uma aplicação
é transformação linear se, para quaisquer
e escalares
, vale
Passo 3
Uma condição imediata e equivalente é que
Aqui
logo precisamos de
.
Passo 4
Para conferir consistência, verificamos a homogeneidade quando
:
e a aditividade:
Portanto, com
,
satisfaz todas as propriedades de transformação linear.
Resposta
A função
é transformação linear exatamente quando
isto é,
.