Verifique que as curvas de nível de
e
são ortogonais.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se as curvas de nível das funções
e
são ortogonais. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo curvas de nível e gradientes. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível, calcular os gradientes das funções e verificar se esses gradientes são ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Agora, para verificar se duas curvas são ortogonais, usamos os gradientes das funções. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à curva de nível.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes das funções
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com os gradientes calculados, vamos verificar se eles são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero.
Calculando o produto escalar de
e
:
Resposta
Como o produto escalar dos gradientes é zero, as curvas de nível de
e
são ortogonais.