Verifique que as curvas de nível de f e g são ortogonais.
(a) f(x, y) = x + y, g(x - y) = x - y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se as curvas de nível das funções e são ortogonais. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo curvas de nível e gradientes. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível, calcular os gradientes das funções e verificar se esses gradientes são ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Agora, para verificar se duas curvas são ortogonais, usamos os gradientes das funções. O gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à curva de nível.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes das funções e .
Para :
Para :

Passo 5

Com os gradientes calculados, vamos verificar se eles são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero.
Calculando o produto escalar de e :

Resposta

Como o produto escalar dos gradientes é zero, as curvas de nível de e são ortogonais.

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