Determine o comprimento da curva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva
Conteúdo: Cálculo de comprimento de arco de uma função vetorial.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Derivada componente a componente de
. - Fórmula do comprimento de arco
- Cálculo da norma (módulo) de
.r'(t) - Integração da função resultante de
a0 .pi/4
Passo 2
Derivando cada componente:
Então
Passo 3
Agora a norma
| r'(t)| :
Lembra que
sin^2 t + cos^2 t = 1 e
tan^2 t = sin^2 tcos^2 t .
Então
Então
já que, em
0<= t<= pi/4 ,
cos t>0 e
sec t=1/cos t>0 .
Passo 4
O comprimento de arco vira
Para integrar
sec t , usamos a antiderivada padrão
Passo 5
Aplicando os limites de
0 a
pi/4 :
Calcule:
sec(pi/4)=raiz2,;tan(pi/4)=1,;sec0=1,;tan0=0 .
Então
Então
Resposta
O comprimento da curva é