Determine o comprimento da curva:
r(t)=(cos (t), sen(t), ln (cos (t))), com 0<=t<=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva
r(t) = l(cos t,;sin t,;ln(cos t)r), 0 <= t <= tfracpi4
Conteúdo: Cálculo de comprimento de arco de uma função vetorial.
O que vamos usar:
  1. Derivada componente a componente de r(t).
  2. Fórmula do comprimento de arco
L = integrala^b l| r'(t)r|,dt
  1. Cálculo da norma (módulo) de r'(t).
  2. Integração da função resultante de 0 a pi/4.

Passo 2

Derivando cada componente:
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) =(cos t,,sin t,,ln(cos t))
x'(t) = -sin t, y'(t) = cos t, z'(t) = ddtln(cos t) = 1cos t,(-sin t) = -tan t
Então
r'(t) = l(-sin t,;cos t,;-,tan tr)

Passo 3

Agora a norma | r'(t)|:
| r'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (-tan t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + tan^2 t
Lembra que sin^2 t + cos^2 t = 1 e tan^2 t = sin^2 tcos^2 t.
Então
| r'(t)| = raiz1 + tan^2 t = raizsec^2 t = sec t,
já que, em 0<= t<= pi/4, cos t>0 e sec t=1/cos t>0.

Passo 4

O comprimento de arco vira
L = integral0^pi/4 | r'(t)|,dt = integral0^pi/4 sec t ,dt
Para integrar sec t, usamos a antiderivada padrão
integral sec t,dt = lnl|sec t + tan tr| + C

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a pi/4:
L = l[lnl(sec t + tan tr)r]0^pi/4 = lnl(sec(tfracpi4)+tan(tfracpi4)r) - lnl(sec 0+tan 0r)
Calcule:
sec(pi/4)=raiz2,;tan(pi/4)=1,;sec0=1,;tan0=0.
Então
L = ln(raiz2 + 1) - ln(1) = ln(raiz2 + 1)

Resposta

O comprimento da curva é
boxed,lnl(raiz2+1r),

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