Esboce o grafico da curva vetorial:
r(t)=(sen(p^star t), cos (p i^star t), t)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em R^3 a curva
r(t)=l(sen(p^start),;cos(p^start),;tr),
que é um exemplo clássico de hélice circular. Para fazer isso, vamos analisar separadamente a projeção no plano xy e o comportamento da coordenada z.

Passo 2

Observe a projeção de r(t) no plano xy:
(x(t),y(t)) = l(sen(p^start),,cos(p^start)r)
Essa paramétrica satisfaz
x^2(t)+y^2(t) =sen^2(p^start)+cos^2(p^start) =1,
logo a projeção é o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

A terceira coordenada é z(t)=t, que cresce de forma linear e não está acoplada aos sinais de seno e cosseno. Isso significa que, à medida que o ponto percorre o círculo no plano xy, ele também sobe (ou desce, se t for negativo) no eixo z.

Passo 4

Cada volta completa na projeção ocorre quando
p^start aumenta de 2pi,
isto é, em
De<a t = 2pip^star
Nesse intervalo a altura varia
De<a z = De<a t = 2pip^star,
que é o passo (pitch) da hélice. Se p^star>0, a hélice sobe “no sentido anti-horário” vista de cima; se p^star<0, sobe no sentido horário.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o cilindro x^2+y^2=1.
  2. Marque alguns valores de t, por exemplo
    ;t=0,;tfracpi2p^star,;tfracpip^star,;tfrac3pi2p^star,;tfrac2pip^star,
    e calcule (x,y,z) em cada um para posicionar pontos.
  3. Una esses pontos suavemente, observando que o fio “dá voltas” em torno do cilindro subindo com passo 2pi/p^star.

Resposta

A curva é uma hélice circular de raio 1 em torno do eixo z, contida no cilindro x^2+y^2=1, com passo (pitch) igual a 2pi/p^star.

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