Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+1,2^nn!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui vamos aplicar o Teste da Razão para a série de termos absolutos e comparar com a série original.

Passo 2

Consideramos a série dos módulos dos termos, isto é
sumn=1^infty|(-1)^n+12^nn!| =sumn=1^infty2^nn!
Para essa série aplicamos o Teste da Razão. Definimos
an = 2^nn!
e calculamos
L = limntoinftyan+1an =limntoinfty2^n+1/(n+1)!2^n/n! =limntoinfty2n+1

Passo 3

Como
L = limntoinfty2n+1 = 0 < 1,
o Teste da Razão garante que a série
sumn=1^infty2^nn!
converge.

Passo 4

Se a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente por definição. Logo, não há apenas convergência condicional nem divergência.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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