Determine o comprimento da curva.
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
para
.
O conteúdo é a fórmula de comprimento de arco de uma curva no espaço, que diz:
O conteúdo é a fórmula de comprimento de arco de uma curva no espaço, que diz:
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
r(t) .
Passo 3
Em seguida, obtemos o quadrado da norma de
r'(t) :
Passo 4
Usamos a identidade hiperbólica
e^2t+e^-2t=2cosh(2t) e lembramos que
1+cosh(2t)=2cosh^2(t) . Logo,
portanto
Passo 5
Agora inserimos na integral de comprimento:
Resposta
O comprimento da curva é
2sinh(1) .