Determine o comprimento da curva.
r(t)=(raiz2 t, e^t, e^-t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
r(t) = l(raiz2,t,;e^t,;e^-tr) para 0<= t<=1.
O conteúdo é a fórmula de comprimento de arco de uma curva no espaço, que diz:
L = integral0^1 l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r(t).
r'(t) = l(raiz2,,e^t,,-e^-tr)

Passo 3

Em seguida, obtemos o quadrado da norma de r'(t):
l|r'(t)r|^2 = (raiz2)^2 + (e^t)^2 + (-e^-t)^2 = 2 + e^2t + e^-2t

Passo 4

Usamos a identidade hiperbólica e^2t+e^-2t=2cosh(2t) e lembramos que 1+cosh(2t)=2cosh^2(t). Logo,
l|r'(t)r|^2 = 2 + 2cosh(2t) = 4cosh^2(t),
portanto
l|r'(t)r| = 2,cosh(t)

Passo 5

Agora inserimos na integral de comprimento:
L = integral0^1 2cosh(t),dt = 2integral0^1cosh(t),dt = 2l[sinh(t)r]0^1 = 2,sinh(1)

Resposta

O comprimento da curva é 2sinh(1).

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