Determine integral duplaS F d S, (ou seja, o fluxo de F através de S ) onde F(x, y, z)=x y^2 i+x^2 y j+y k e S é a superfície da região delimitada pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=x y^2,vec i + x^2y,vec j + y,vec k através da superfície fechada S que delimita a região entre os parabolóides
z = x^2+y^2 e z = 2 - x^2-y^2
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de superfície em integral tripla da divergência de vec F sobre o volume V interno a S.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSvec Fcdot dvec S =integral triplaVl(nabla!cdot vec Fr),dV
Então basta calcular nablacdotvec F e integrar sobre o volume V.

Passo 3

Calculemos a divergência:
nablacdotvec F =partialpartial x(x y^2) +partialpartial y(x^2y) +partialpartial z(y) =y^2+x^2+0 =x^2+y^2

Passo 4

A região V é dada por
x^2+y^2<= 1, x^2+y^2<= z<= 2 - (x^2+y^2)
Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), isso vira
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, r^2<= z<= 2 - r^2

Passo 5

Em cilíndricas, nablacdotvec F = r^2 e dV = r,dr,dtheta,dz. A integral em z dá a altura do sólido:
integral triplaV(x^2+y^2),dV =integral0^2pi!integral0^1!integralr^2^,2-r^2 r^2,(r,dz,dr,dtheta) =integral0^2pi!integral0^1 r^3l[(2 - r^2) - r^2r]dr,dtheta
Note que (2-r^2)-r^2=2-2r^2.

Passo 6

Continuando,
integral0^2pi!dtheta integral0^1r^3(2-2r^2),dr =2piintegral0^1(2r^3-2r^5),dr =2pil[tfrac24-tfrac26r] =2pil[tfrac12-tfrac13r] =2picdottfrac16 =tfracpi3

Resposta

pi3

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