Determine
, (ou seja, o fluxo de
através de
) onde
é a superfície da região delimitada pelos parabolóides
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
que delimita a região entre os parabolóides
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de superfície em integral tripla da divergência de
sobre o volume
interno a
.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência,
Então basta calcular
e integrar sobre o volume
.
Passo 3
Calculemos a divergência:
Passo 4
A região
é dada por
Em coordenadas cilíndricas
, isso vira
Passo 5
Em cilíndricas,
e
. A integral em
dá a altura do sólido:
Note que
.
Passo 6
Continuando,