Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=(t, \cos t, 3 \sin t), \quad 0 \leq t \leq 5.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha(t)=(t,\cos t,3\sin t) e pede o comprimento da curva para 0\le t\le 5.
Informações relevantes:
  • A curva é parametrizada por t no intervalo [0,5].
  • Objetivo: calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=5.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a ideia por trás dela).
Se \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável e suave, o comprimento L da curva é dado por
L=\int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt,
onde \alpha'(t) é a derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (o “tamanho” do vetor). Intuitivamente, aproximamos a curva por pequenos segmentos lineares; o comprimento total é a soma (integral) dos comprimentos desses pequenos vetores velocidade.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente.
Para \alpha(t)=(t,\cos t,3\sin t) temos
\alpha'(t)=\bigl(1, -\sin t, 3\cos t\bigr).
Aqui cada componente foi derivada em relação a t: d/dt(t)=1, d/dt(\cos t)=-\sin t, d/dt(3\sin t)=3\cos t.

Passo 4

Calcular a norma \|\alpha'(t)\|.
A norma euclidiana ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes:
\|\alpha'(t)\|^2 = 1^2 + (-\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 1 + \sin^2 t + 9\cos^2 t.
Simplificamos usando \sin^2 t+\cos^2 t=1:
\|\alpha'(t)\|^2 = 1 + (\sin^2 t + 9\cos^2 t) = 1 + \bigl(\sin^2 t+\cos^2 t\bigr) + 8\cos^2 t = 2 + 8\cos^2 t.
Portanto
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{2 + 8\cos^2 t}.
Também pode-se escrever, factorizando 2,
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{2}\,\sqrt{1+4\cos^2 t},
ou usando a identidade \cos^2 t=(1+\cos 2t)/2,
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{6 + 4\cos 2t}\cdot\frac{1}{1}\quad\text{(alternativa)}.

Passo 5

Escrever o integral do comprimento.
Pelo Passo 2 e Passo 4:
L=\int_0^5 \sqrt{2+8\cos^2 t}\,dt.
Observação didática: a função \sqrt{2+8\cos^2 t} não tem primitiva elementar simples (o integral fechado envolve integrais elípticas). Então, em prova, é aceitável deixar o comprimento nessa forma exata. Se for pedido valor numérico, faz-se aproximação numérica.

Passo 6

Aproximação numérica pelo método de Simpson (explicação e aplicação).
O método de Simpson com n subintervalos ( n par) aproxima \int_{a}^{b} f(t)\,dt por
\int_a^b f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl(f(t_0)+f(t_n)+4\sum_{k\\ \text{ímpar}} f(t_k)+2\sum_{k\\ \text{par},\,k\ne0,n} f(t_k)\Bigr),í
onde h=(b-a)/n e t_k=a+kh. Vou aplicar com n=10 ( h=0,5) para obter uma aproximação razoável sem calculadora. Calculam-se os valores
f(t)=\sqrt{2+8\cos^2 t}
nos pontos t_k=0,0{,}5,1{,}0,\dots,5{,}0. Os valores aproximados usados foram
\begin{array}{l} f(0)\approx 3{,}1623,\\\ f(0{,}5)\approx 2{,}8571,\\\ f(1{,}0)\approx 2{,}0820,\\\ f(1{,}5)\approx 1{,}4284,\\\ f(2{,}0)\approx 1{,}8400,\\\ f(2{,}5)\approx 2{,}6720,\\\ f(3{,}0)\approx 3{,}1370,\\\ f(3{,}5)\approx 3{,}0010,\\\ f(4{,}0)\approx 2{,}3280,\\\ f(4{,}5)\approx 1{,}5350,\\\ f(5{,}0)\approx 1{,}6260. \end{array}
Aplicando a fórmula de Simpson com h=0{,}5 obteve-se a aproximação
L\approx 11{,}59.
(Isto dá uma ideia numérica do comprimento; com mais subdivisões ou cálculo numérico mais preciso, o valor converge de forma mais acurada, mas 11{,}59 já é uma boa estimativa.)

Passo 7

Resumo final (o que levar para a prova).
  • Passos essenciais na prova: calcular \alpha'(t), formar \|\alpha'(t)\|, e escrever o integral do comprimento.
  • Neste caso o integral fica explícito mas sem primitiva elementar, portanto deixe como integral exato ou forneça uma aproximação numérica se solicitado.

Resposta

L=\int_0^5 \sqrt{2+8\cos^2 t}\,dt \approx 11{,}59

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