Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede o comprimento da curva para
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A curva é parametrizada por
no intervalo . - Objetivo: calcular o comprimento da curva entre
e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a ideia por trás dela).
Se é diferenciável e suave, o comprimento
da curva é dado por
Se
onde
é a derivada componente a componente e
é a norma euclidiana (o “tamanho” do vetor). Intuitivamente, aproximamos a curva por pequenos segmentos lineares; o comprimento total é a soma (integral) dos comprimentos desses pequenos vetores velocidade.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente.
Para temos
Para
Aqui cada componente foi derivada em relação a
:
,
,
.
Passo 4
Calcular a norma
.
A norma euclidiana ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes:
A norma euclidiana ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes:
Simplificamos usando
:
Portanto
Também pode-se escrever, factorizando
,
ou usando a identidade
,
Passo 5
Escrever o integral do comprimento.
Pelo Passo 2 e Passo 4:
Pelo Passo 2 e Passo 4:
Observação didática: a função
não tem primitiva elementar simples (o integral fechado envolve integrais elípticas). Então, em prova, é aceitável deixar o comprimento nessa forma exata. Se for pedido valor numérico, faz-se aproximação numérica.
Passo 6
Aproximação numérica pelo método de Simpson (explicação e aplicação).
O método de Simpson com subintervalos (
par) aproxima
por
O método de Simpson com
onde
e
. Vou aplicar com
(
) para obter uma aproximação razoável sem calculadora. Calculam-se os valores
nos pontos
. Os valores aproximados usados foram
Aplicando a fórmula de Simpson com
obteve-se a aproximação
(Isto dá uma ideia numérica do comprimento; com mais subdivisões ou cálculo numérico mais preciso, o valor converge de forma mais acurada, mas 11{,}59 já é uma boa estimativa.)
Passo 7
Resumo final (o que levar para a prova).
- Passos essenciais na prova: calcular
, formar , e escrever o integral do comprimento. - Neste caso o integral fica explícito mas sem primitiva elementar, portanto deixe como integral exato ou forneça uma aproximação numérica se solicitado.