Uma indústria fabrica resistores cuja resistência (em ohms) não segue exatamente uma distribuição normal, mas possui:
  • Média \mu=220 \Omega
  • Desvio padrão \sigma=30 \Omega
Um engenheiro seleciona amostras aleatórias de 64 resistores e calcula a média amostral.
a) Descreva a distribuição aproximada da média amostral. Justifique.
b) Qual a probabilidade de a média da amostra ser maior que 225 \Omega ?
c) Qual o valor de \bar{x} tal que apenas 2,5 \% das médias amostrais sejam maiores que ele?

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Média populacional: \mu=220\\ \Omega.
  • Desvio padrão populacional: \sigma=30\\ \Omega.
  • Tamanho da amostra: n=64.
    As perguntas são:
    a) Descrever a distribuição aproximada da média amostral e justificar.
    b) Calcular a probabilidade de a média amostral ser maior que 225\\ \Omega.
    c) Encontrar o valor de \bar{x} tal que apenas 2{,}5\% das médias amostrais sejam maiores que ele.

Passo 2

Entender o que se usa aqui (a ideia central e a fórmula).
  • Quando se tira uma amostra aleatória de tamanho n e se calcula a média amostral \bar{X}, a distribuição de \bar{X} tem média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido por \sqrt{n}. Escrevendo em fórmulas:
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu,\qquad \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Além disso, pelo Teorema Central do Limite (TCL), se n é grande (regra prática: n\ge 30), a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal independentemente da forma da distribuição original. Aqui n=64, que é grande, então podemos usar a aproximação normal com segurança.
Calculemos o desvio padrão da média amostral numericamente:
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{64}}=\frac{30}{8}=3{,}75\\ \Omega.

Passo 3

Resposta detalhada da letra (a) com justificativa final.
  • Pelo que foi explicado, a média amostral \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu=220 e desvio padrão \sigma_{\bar{X}}=3{,}75. Em forma de notação:
\bar{X}\approx N\bigl(220,\;3{,}75^{2}\bigr).
  • Justificativa curta e explícita: usamos o Teorema Central do Limite porque n=64 é grande; portanto a média de amostras tende a distribuir-se de forma aproximadamente normal com os parâmetros acima.

Passo 4

Como calcular probabilidades: padronização (fórmula e explicação).
  • Para calcular probabilidades de \bar{X} usamos o escore-z (padronização). A fórmula é
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}.
Isso transforma a variável em uma normal padrão Z\sim N(0,1). Depois consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora).

Passo 5

Resolução da letra (b): calcular P(\bar{X}>225).
  • Padronizando:
Z=\frac{225-220}{3{,}75}=\frac{5}{3{,}75}=1{,}333\ldots
  • Então
P(\bar{X}>225)=P\bigl(Z>1{,}333\ldots\bigr)=1-\Phi\bigl(1{,}333\ldots\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando tabela ou calculadora, \Phi(1{,}333\ldots)\approx 0{,}9088. Logo
P(\bar{X}>225)\approx 1-0{,}9088=0{,}0912.
Interpretação: cerca de 9{,}12\% das médias amostrais de tamanho 64 ultrapassarão 225\\ \Omega.

Passo 6

Resolução da letra (c): encontrar \bar{x} tal que P(\bar{X}>\bar{x})=0{,}025.
  • Se a probabilidade superior é 0{,}025, o escore z correspondente (percentil de cauda superior 2{,}5\%) é z_{0{,}975}=1{,}96 (porque P(Z>1{,}96)=0{,}025).
  • Usando a relação inversa:
\bar{x}=\mu+z\cdot\sigma_{\bar{X}}=220+1{,}96\cdot 3{,}75.
  • Calculemos 1{,}96\cdot 3{,}75: 1{,}96\cdot 3{,}75=7{,}35. Portanto
\bar{x}=220+7{,}35=227{,}35\\ \Omega.
Interpretação: apenas 2{,}5\% das médias amostrais serão maiores que 227{,}35\\ \Omega.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (dica para a prova):
  • Sempre calcule \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n} e use o TCL se n é grande.
  • Padronize com Z=(\bar{X}-\mu)/\sigma_{\bar{X}} e use a tabela da normal padrão.
  • Se pedirem quantil superior p, encontre z tal que P(Z>z)=p e depois volte com \bar{x}=\mu+z\sigma_{\bar{X}}.
  • Mantenha as unidades (aqui \Omega) em todos os passos para não se confundir.

Resposta

a) \bar{X}\approx N\bigl(220,\;3{,}75^{2}\bigr) (pela TCL, já que n=64).
b) P(\bar{X}>225)\approx 0{,}0912 (aprox. 9{,}12\%).
c) \bar{x}=227{,}35\\ \Omega.

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