Uma indústria fabrica resistores cuja resistência (em ohms) não segue exatamente uma distribuição normal, mas possui:
- Média
- Desvio padrão
Um engenheiro seleciona amostras aleatórias de 64 resistores e calcula a média amostral.
a) Descreva a distribuição aproximada da média amostral. Justifique.
b) Qual a probabilidade de a média da amostra ser maior que
?
c) Qual o valor de
tal que apenas
das médias amostrais sejam maiores que ele?
a) Descreva a distribuição aproximada da média amostral. Justifique.
b) Qual a probabilidade de a média da amostra ser maior que
c) Qual o valor de
Passo 1
O que o enunciado dá (peguei todos estes dados do enunciado):
- Média populacional:
. - Desvio padrão populacional:
. - Tamanho da amostra:
.
As perguntas são:
a) Descrever a distribuição aproximada da média amostral e justificar.
b) Calcular a probabilidade de a média amostral ser maior que.
c) Encontrar o valor detal que apenas das médias amostrais sejam maiores que ele.
Passo 2
Entender o que se usa aqui (a ideia central e a fórmula).
- Quando se tira uma amostra aleatória de tamanho
e se calcula a média amostral , a distribuição de tem média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido por . Escrevendo em fórmulas:
- Além disso, pelo Teorema Central do Limite (TCL), se
é grande (regra prática: ), a distribuição de é aproximadamente normal independentemente da forma da distribuição original. Aqui , que é grande, então podemos usar a aproximação normal com segurança.
Calculemos o desvio padrão da média amostral numericamente:
Passo 3
Resposta detalhada da letra (a) com justificativa final.
- Pelo que foi explicado, a média amostral
é aproximadamente normal com média e desvio padrão . Em forma de notação:
- Justificativa curta e explícita: usamos o Teorema Central do Limite porque
é grande; portanto a média de amostras tende a distribuir-se de forma aproximadamente normal com os parâmetros acima.
Passo 4
Como calcular probabilidades: padronização (fórmula e explicação).
- Para calcular probabilidades de
usamos o escore-z (padronização). A fórmula é
Isso transforma a variável em uma normal padrão
. Depois consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora).
Passo 5
Resolução da letra (b): calcular
.
- Padronizando:
- Então
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando tabela ou calculadora,
. Logo
Interpretação: cerca de
das médias amostrais de tamanho
ultrapassarão
.
Passo 6
Resolução da letra (c): encontrar
tal que
.
- Se a probabilidade superior é
, o escore z correspondente (percentil de cauda superior ) é (porque ). - Usando a relação inversa:
- Calculemos
: . Portanto
Interpretação: apenas
das médias amostrais serão maiores que
.
Passo 7
Recapitulando de forma prática (dica para a prova):
- Sempre calcule
e use o TCL se é grande. - Padronize com
e use a tabela da normal padrão. - Se pedirem quantil superior
, encontre tal que e depois volte com . - Mantenha as unidades (aqui
) em todos os passos para não se confundir.
Resposta
a)
(pela TCL, já que
).
b) (aprox.
).
c) .
b)
c)