Um sistema hidráulico apresenta pressão média de operação de:
Média \mu=150 \mathrm{kPa}
Desvio padrão σ = 12 kPa
Um engenheiro coleta uma amostra de \mathrm{n}=36 medições.
d) Qual é a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral?
e) Qual a probabilidade de a média amostral estar entre 147 e 153 kPa ?
f) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que o erro padrão seja menor que 2 kPa?
g) Se uma amostra apresentar média igual a 155 kPa , isso é evidência de mau funcionamento do sistema? Justifique com base probabilistica (nível de significância de 5 \% ).
Passo 1
Lista clara do que o enunciado nos dá e o que pede:
Dados fornecidos:
Média populacional da pressão: \mu=150\\ \mathrm{kPa}.
Tamanho da amostra para as partes (d)–(e)–(g): n=36.
Perguntas:
(d) Qual é a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral?
(e) Qual a probabilidade de a média amostral estar entre 147\\ \mathrm{kPa} e 153\\ \mathrm{kPa}?
(f) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que o erro padrão seja menor que 2\\ \mathrm{kPa}?
(g) Se uma amostra apresentar média igual a 155\\ \mathrm{kPa}, isso é evidência de mau funcionamento do sistema? Justificar probabilisticamente ao nível de significância de 5\%.
Passo 2
Conceitos e fórmulas necessárias (aula curta e didática, sem pular etapas):
O que é a distribuição da média amostral?
Se extraímos amostras de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média das amostras \overline{X} (a média amostral) tem uma distribuição com média igual à média populacional e desvio padrão reduzido.
Fórmulas essenciais:
Média da distribuição da média amostral:\mathbb{E}[\overline{X}] = \mu.Aqui \mathbb{E}[\overline{X}] significa o valor médio esperado de \overline{X} se repetíssemos a amostragem muitas vezes.
Desvio padrão da distribuição da média amostral (erro padrão):\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.Nesta fórmula \sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra. O raciocínio intuitivo: ao tirar média de n observações independentes, a variabilidade da média cai como 1/\sqrt{n}.
Quando podemos usar a distribuição normal para \overline{X}?
Se a população for normal, então \overline{X} é exatamente normal para qualquer n.
Se a população não for necessariamente normal, pelo Teorema Central do Limite, para n suficientemente grande (geralmente n\ge 30 é considerado bom na prática) \overline{X} é aproximadamente normal. Aqui n=36, então podemos usar a aproximação normal com segurança.
Como transformar para a normal padrão e calcular probabilidades:
Definimos a variável padronizada Z porZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.Então Z segue aproximadamente a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1). Para obter probabilidades usamos a função de distribuição acumulada \Phi(\cdot) da normal padrão, onde \Phi(a)=P(Z\le a).
Passo 3
Parte (d): calcular a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral.
Aplicando as fórmulas:
Média da média amostral:\mathbb{E}[\overline{X}]=\mu=150\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação prática: embora cada medição individual tenha desvio padrão 12\\ \mathrm{kPa}, a média de 36 medições tem muito menos variabilidade — apenas 2\\ \mathrm{kPa}.
Passo 4
Parte (e): calcular P(147\le \overline{X}\le 153).
Primeiro transformamos os limites em pontuações Z usando a padronização:
Para o limite inferior 147\\ \mathrm{kPa}:Z_{\text{inf}}=\frac{147-150}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{147-150}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5.
Para o limite superior 153\\ \mathrm{kPa}:Z_{\text{sup}}=\frac{153-150}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.
A probabilidade desejada éP(147\le \overline{X}\le 153)=P(-1{,}5\le Z\le 1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5).
Usando a simetria da normal padrão (\Phi(-a)=1-\Phi(a)) obtemos\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\bigl(1-\Phi(1{,}5)\bigr)=2\Phi(1{,}5)-1.
Valor numérico: tabelas ou calculadora dão \Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319. LogoP(147\le \overline{X}\le 153)=2\cdot 0{,}93319 - 1 = 0{,}86638\approx 0{,}8664.
Interpretação: cerca de 86{,}64\% das médias de amostras de tamanho 36 estarão entre 147 e 153\\ \mathrm{kPa}.
Passo 5
Parte (f): determinar n mínimo para que o erro padrão seja menor que 2\\ \mathrm{kPa}.
Resolver a desigualdade:\frac{12}{2}<\sqrt{n}\quad\Rightarrow\quad 6<\sqrt{n}.Elevando ao quadrado ambos os lados:36<n.
Portanto n precisa ser maior que 36. Como n deve ser inteiro, o menor n inteiro que satisfaz é n=37.
Observação prática: para n=36 o erro padrão é exatamente 2\\ \mathrm{kPa}. Como a condição exige "menor que 2\\ \mathrm{kPa}", precisamos de n=37 no mínimo.
Passo 6
Parte (g): testar se uma amostra com média \overline{x}=155\\ \mathrm{kPa} é evidência de mau funcionamento, com nível de significância \alpha=5\%.
Formular hipóteses (teste bilateral, pois desvio para cima ou para baixo pode indicar problema):H_0:\\ \mu=150\\ \mathrm{kPa}\qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu\neq 150\\ \mathrm{kPa}.
Estatística de teste (como \sigma é conhecida, usamos o teste Z):Z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{155-150}{12/\sqrt{36}}=\frac{5}{12/6}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Regra de decisão para \alpha=5\% (teste bilateral):
Como |Z|=2{,}5>1{,}96, rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
Cálculo do p-valor:\text{p-valor}=2\bigl(1-\Phi(2{,}5)\bigr).Usando \Phi(2{,}5)\approx 0{,}99379 obtemos\text{p-valor}\approx 2(1-0{,}99379)=2(0{,}00621)=0{,}01242\approx 0{,}0124.
Interpretação probabilística: o p-valor é aproximadamente 1{,}24\%, muito menor que 5\%. Isso significa que, se o sistema estivesse funcionando corretamente (\mu=150), a probabilidade de observar uma média amostral tão extrema quanto 155\\ \mathrm{kPa} (ou mais extrema) é apenas cerca de 1{,}24\%. Portanto há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a média difere de 150\\ \mathrm{kPa} — ou seja, há indício de mau funcionamento.
Observação sobre hipóteses e condições: esse teste assume que \sigma é conhecido e que a aproximação normal para \overline{X} é válida (aqui n=36 torna a aproximação plausível).
Resposta
(d) Média da média amostral = 150\\ \mathrm{kPa}; Desvio padrão da média amostral = 2\\ \mathrm{kPa}.
(e) P(147\le \overline{X}\le153)\approx 0{,}8664 (ou 86{,}64\%).
(f) n_{\min}=37.
(g) Sim — rejeita-se H_0 ao nível de 5\% (estatística Z=2{,}5, p-valor \approx 0{,}0124); há evidência probabilística de mau funcionamento.