Um sistema hidráulico apresenta pressão média de operação de:
  • Média \mu=150 \mathrm{kPa}
  • Desvio padrão σ = 12 kPa
Um engenheiro coleta uma amostra de \mathrm{n}=36 medições.
d) Qual é a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral?
e) Qual a probabilidade de a média amostral estar entre 147 e 153 kPa ?
f) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que o erro padrão seja menor que 2 kPa?
g) Se uma amostra apresentar média igual a 155 kPa , isso é evidência de mau funcionamento do sistema? Justifique com base probabilistica (nível de significância de 5 \% ).

Passo 1

Lista clara do que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Média populacional da pressão: \mu=150\\ \mathrm{kPa}.
    • Desvio padrão populacional: \sigma=12\\ \mathrm{kPa}.
    • Tamanho da amostra para as partes (d)–(e)–(g): n=36.
  • Perguntas:
    • (d) Qual é a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral?
    • (e) Qual a probabilidade de a média amostral estar entre 147\\ \mathrm{kPa} e 153\\ \mathrm{kPa}?
    • (f) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que o erro padrão seja menor que 2\\ \mathrm{kPa}?
    • (g) Se uma amostra apresentar média igual a 155\\ \mathrm{kPa}, isso é evidência de mau funcionamento do sistema? Justificar probabilisticamente ao nível de significância de 5\%.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aula curta e didática, sem pular etapas):
  • O que é a distribuição da média amostral?
    • Se extraímos amostras de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média das amostras \overline{X} (a média amostral) tem uma distribuição com média igual à média populacional e desvio padrão reduzido.
  • Fórmulas essenciais:
    • Média da distribuição da média amostral: \mathbb{E}[\overline{X}] = \mu.Aqui \mathbb{E}[\overline{X}] significa o valor médio esperado de \overline{X} se repetíssemos a amostragem muitas vezes.
    • Desvio padrão da distribuição da média amostral (erro padrão): \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.Nesta fórmula \sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra. O raciocínio intuitivo: ao tirar média de n observações independentes, a variabilidade da média cai como 1/\sqrt{n}.
  • Quando podemos usar a distribuição normal para \overline{X}?
    • Se a população for normal, então \overline{X} é exatamente normal para qualquer n.
    • Se a população não for necessariamente normal, pelo Teorema Central do Limite, para n suficientemente grande (geralmente n\ge 30 é considerado bom na prática) \overline{X} é aproximadamente normal. Aqui n=36, então podemos usar a aproximação normal com segurança.
  • Como transformar para a normal padrão e calcular probabilidades:
    • Definimos a variável padronizada Z por Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.Então Z segue aproximadamente a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1). Para obter probabilidades usamos a função de distribuição acumulada \Phi(\cdot) da normal padrão, onde \Phi(a)=P(Z\le a).

Passo 3

Parte (d): calcular a média e o desvio padrão da distribuição da média amostral.
  • Aplicando as fórmulas:
    • Média da média amostral: \mathbb{E}[\overline{X}]=\mu=150\\ \mathrm{kPa}.
    • Erro padrão: \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12\\ \mathrm{kPa}}{\sqrt{36}}=\frac{12\\ \mathrm{kPa}}{6}=2\\ \mathrm{kPa}.
  • Interpretação prática: embora cada medição individual tenha desvio padrão 12\\ \mathrm{kPa}, a média de 36 medições tem muito menos variabilidade — apenas 2\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Parte (e): calcular P(147\le \overline{X}\le 153).
  • Primeiro transformamos os limites em pontuações Z usando a padronização:
    • Para o limite inferior 147\\ \mathrm{kPa}: Z_{\text{inf}}=\frac{147-150}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{147-150}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5.
    • Para o limite superior 153\\ \mathrm{kPa}: Z_{\text{sup}}=\frac{153-150}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5.
  • A probabilidade desejada é P(147\le \overline{X}\le 153)=P(-1{,}5\le Z\le 1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5).
  • Usando a simetria da normal padrão ( \Phi(-a)=1-\Phi(a)) obtemos \Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\bigl(1-\Phi(1{,}5)\bigr)=2\Phi(1{,}5)-1.
  • Valor numérico: tabelas ou calculadora dão \Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319. Logo P(147\le \overline{X}\le 153)=2\cdot 0{,}93319 - 1 = 0{,}86638\approx 0{,}8664.
  • Interpretação: cerca de 86{,}64\% das médias de amostras de tamanho 36 estarão entre 147 e 153\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Parte (f): determinar n mínimo para que o erro padrão seja menor que 2\\ \mathrm{kPa}.
  • Desejamos \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<2\\ \mathrm{kPa}.
  • Substituindo \sigma=12\\ \mathrm{kPa}: \frac{12}{\sqrt{n}}<2.
  • Resolver a desigualdade: \frac{12}{2}<\sqrt{n}\quad\Rightarrow\quad 6<\sqrt{n}.Elevando ao quadrado ambos os lados: 36<n.
  • Portanto n precisa ser maior que 36. Como n deve ser inteiro, o menor n inteiro que satisfaz é n=37.
  • Observação prática: para n=36 o erro padrão é exatamente 2\\ \mathrm{kPa}. Como a condição exige "menor que 2\\ \mathrm{kPa}", precisamos de n=37 no mínimo.

Passo 6

Parte (g): testar se uma amostra com média \overline{x}=155\\ \mathrm{kPa} é evidência de mau funcionamento, com nível de significância \alpha=5\%.
  • Formular hipóteses (teste bilateral, pois desvio para cima ou para baixo pode indicar problema): H_0:\\ \mu=150\\ \mathrm{kPa}\qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu\neq 150\\ \mathrm{kPa}.
  • Estatística de teste (como \sigma é conhecida, usamos o teste Z): Z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{155-150}{12/\sqrt{36}}=\frac{5}{12/6}=\frac{5}{2}=2{,}5.
  • Regra de decisão para \alpha=5\% (teste bilateral):
    • Cota crítica: z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx 1{,}96.
    • Rejeita-se H_0 se |Z|>1{,}96.
  • Como |Z|=2{,}5>1{,}96, rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
  • Cálculo do p-valor: \text{p-valor}=2\bigl(1-\Phi(2{,}5)\bigr).Usando \Phi(2{,}5)\approx 0{,}99379 obtemos \text{p-valor}\approx 2(1-0{,}99379)=2(0{,}00621)=0{,}01242\approx 0{,}0124.
  • Interpretação probabilística: o p-valor é aproximadamente 1{,}24\%, muito menor que 5\%. Isso significa que, se o sistema estivesse funcionando corretamente ( \mu=150), a probabilidade de observar uma média amostral tão extrema quanto 155\\ \mathrm{kPa} (ou mais extrema) é apenas cerca de 1{,}24\%. Portanto há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a média difere de 150\\ \mathrm{kPa} — ou seja, há indício de mau funcionamento.
  • Observação sobre hipóteses e condições: esse teste assume que \sigma é conhecido e que a aproximação normal para \overline{X} é válida (aqui n=36 torna a aproximação plausível).

Resposta

(d) Média da média amostral = 150\\ \mathrm{kPa}; Desvio padrão da média amostral = 2\\ \mathrm{kPa}.
(e) P(147\le \overline{X}\le153)\approx 0{,}8664 (ou 86{,}64\%).
(f) n_{\min}=37.
(g) Sim — rejeita-se H_0 ao nível de 5\% (estatística Z=2{,}5, p-valor \approx 0{,}0124); há evidência probabilística de mau funcionamento.

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