Determine o comprimento das curvas a seguir
r(t)=2 t i+t^2 j+ln t k, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
vec r(t)=2t,vec i + t^2,vec j + ln t,vec k
no intervalo 1<= t<=2.
Para isso usamos a fórmula de comprimento de arco
s=integral1^2|vec r,'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
vec r,'(t) = ddt(2t),vec i + ddt(t^2),vec j + ddt(ln t),vec k = 2,vec i + 2t,vec j + 1t,vec k

Passo 3

Determinamos a norma de vec r,'(t):
|vec r,'(t)| =raiz2^2 + (2t)^2 + l(tfrac1tr)^2 =raiz4 + 4t^2 + 1t^2
Repare que
4 + 4t^2 + 1t^2 =l(2t + tfrac1tr)^2,
logo para t>0 temos
|vec r,'(t)| = 2t + tfrac1t

Passo 4

Assim o comprimento é
s = integral1^2l(2t + tfrac1tr),dt
Calculamos a antiderivada:
integrall(2t + tfrac1tr),dt = t^2 + ln t + C

Passo 5

Avaliaremos de 1 a 2:
s = l[t^2 + ln tr]1^2 = l(4 + ln 2r) - l(1 + ln 1r) = 3 + ln 2

Resposta

O comprimento da curva é 3 + ln 2.

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