Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Dizemos que uma série
sum an
é condicionalmente convergente, se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.
sumn=1^infty (-1)^n+2raiz[4]n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+2raiz[4]n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é:
  1. Teste de convergência absoluta (séries do tipo p-série).
  2. Teste de Leibniz (séries alternantes).

Passo 2

Aplicamos o teste de convergência absoluta, isto é, analisamos
sumn=1^infty|(-1)^n+2raiz[4]n| =sumn=1^infty1n^1/4
Sabemos que a p-série sum1/n^p converge somente se p>1. Aqui p=1/4<=1, logo
sumn=1^infty1n^1/4
diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora testamos a convergência condicional pelo Critério de Leibniz para séries alternantes. Definimos
an = 1n^1/4,
de modo que a série fica sum(-1)^n+2an. Precisamos verificar que an>0, que an é decrescente e que limntoinftyan=0.

Passo 4

  1. Claramente an>0 para todo n.
  2. A função f(x)=x^-1/4 é decrescente para x>0 (pois f'(x)=-tfrac14x^-5/4<0).
  3. limntoinftyan=limntoinftyn^-1/4=0.
    Pelo Critério de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 5

Concluímos que a série converge (por Leibniz), mas não converge absolutamente (pois a p-série com p=1/4 diverge). Logo é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+2raiz[4]n é condicionalmente convergente.

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