Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=raiz[n]3^n+5^n;

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo raízes e potências. Vamos usar propriedades de expoentes e de raízes para chegar lá.

Passo 2

A sequência é dada por:

Passo 3

xn=raiz[n]3^n+5^n

Passo 4

A ideia principal é ver qual termo domina dentro da raiz quando n fica grande. Como o número 5 é maior que 3, a potência 5^n vai crescer mais rápido. Então a gente fatora 5^n dentro da raiz:

Passo 5

3^n+5^n=5^nl((3/5)^n+1r)

Passo 6

Agora usamos a propriedade de raízes:

Passo 7

xn=raiz[n]5^nl((3/5)^n+1r)=raiz[n]5^n;raiz[n](3/5)^n+1=5;l((3/5)^n+1r)^1/n

Passo 8

Falta ver o comportamento de ((3/5)^n+1)^1/n. Como (3/5)^nto0 quando ntoinfty, temos (3/5)^n+1to1. E qualquer coisa que tende a 1, elevada à potência 1/n, vai tender a 1 também, porque

Passo 9

limntoinftyl((3/5)^n+1r)^1/n=e^limntoinfty1nlnl((3/5)^n+1r)=e^0=1

Passo 10

Logo,

Passo 11

limntoinftyxn=5cdot1=5

Resposta

A sequência converge e o limite é 5.

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