Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral
, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Nesse exercício a gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo raízes e potências. Vamos usar propriedades de expoentes e de raízes para chegar lá.
Passo 2
A sequência é dada por:
Passo 3
Passo 4
A ideia principal é ver qual termo domina dentro da raiz quando
fica grande. Como o número 5 é maior que 3, a potência
vai crescer mais rápido. Então a gente fatora
dentro da raiz:
Passo 5
Passo 6
Agora usamos a propriedade de raízes:
Passo 7
Passo 8
Falta ver o comportamento de
. Como
quando
, temos
. E qualquer coisa que tende a 1, elevada à potência
, vai tender a 1 também, porque
Passo 9
Passo 10
Logo,
Passo 11
Resposta
A sequência converge e o limite é 5.