Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral
, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Passo 1
Olha só, a questão pede pra gente ver se a sequência converge ou diverge e, se ela convergir, achar o limite. Isso é sobre limites de sequência, e vamos precisar usar logaritmo e exponenciais pra lidar com essa raiz de ordem
.
Passo 2
Pra ficar mais tranquilo de resolver, a gente vai usar logaritmo. Definimos
e vamos estudar
, porque daí a gente transforma potenciação em multiplicação e facilita o cálculo.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural no termo geral, a gente tem:
Passo 4
Agora, vamos quebrar esse
usando a propriedade de log de produto. Escrevemos:
Passo 5
Substituindo de volta em
, vira:
Aí, quando
, a gente sabe que
,
e, usando a expansão
, dá
. Logo
.
Passo 6
Como
, concluímos que
. Então, a sequência converge e o limite é 1.
Resposta
1