Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=(1+3 n)^1 / n.

Passo 1

Olha só, a questão pede pra gente ver se a sequência converge ou diverge e, se ela convergir, achar o limite. Isso é sobre limites de sequência, e vamos precisar usar logaritmo e exponenciais pra lidar com essa raiz de ordem n.

Passo 2

Pra ficar mais tranquilo de resolver, a gente vai usar logaritmo. Definimos yn = xn e vamos estudar ln yn, porque daí a gente transforma potenciação em multiplicação e facilita o cálculo.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural no termo geral, a gente tem:
ln xn = 1n lnl(1 + 3nr)

Passo 4

Agora, vamos quebrar esse ln(1 + 3n) usando a propriedade de log de produto. Escrevemos:
lnl(1 + 3nr) = ln(3n) + ln!l(1 + 13nr) = ln3 + ln n + ln!l(1 + 13nr)

Passo 5

Substituindo de volta em ln xn, vira:
ln xn = ln3n + ln nn + 1n ln!l(1 + 13nr)
Aí, quando n to infty, a gente sabe que tfracln nn to 0, tfracln3n to 0 e, usando a expansão ln(1 + tfrac13n) sim tfrac13n, dá tfrac1nln(1 + tfrac13n) to 0. Logo ln xn to 0.

Passo 6

Como ln xn to 0, concluímos que xn = e^ln xn to e^0 = 1. Então, a sequência converge e o limite é 1.

Resposta

1

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