Supondo que a posição de uma partícula é dada por s(t)=raizt, resolva os itens a seguir.
(a) Calcule a velocidade média da partícula entre os instantes t=9 e t=16.
(b) Calcule a velocidade instantânea da partícula quando t=9.
(c) Calcule a velocidade v(t) e a aceleração a(t) em um instante t>0 arbitrário.

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula é
s(t)=raizt
e pede
– a velocidade média entre t=9 e t=16,
– a velocidade instantânea em t=9,
– as expressões gerais de v(t) e a(t) para t>0.
Para isso vamos usar:
– Definição de velocidade média:
vméd=s(t2)-s(t1)t2-t1 é
– Velocidade instantânea como derivada da posição: v(t)=s'(t).
– Aceleração como derivada da velocidade: a(t)=v'(t).
– Regra de potência: ddtt^n= n,t^n-1.

Passo 2

Para a velocidade média entre t1=9 e t2=16 aplicamos
vméd =s(16)-s(9)16-9 é
Calculando s(16)=raiz16=4 e s(9)=raiz9=3, vem
vméd =4-37 =17 é

Passo 3

Para a velocidade instantânea em t=9 primeiro achamos a derivada geral
v(t)=s'(t) =ddtl(t^1/2r) =tfrac12,t^-1/2 =12raizt
Em seguida, em t=9:
v(9)=12raiz9 =12cdot3 =16

Passo 4

Já temos
v(t)=12raizt
Agora calculamos a aceleração como
a(t)=v'(t) =ddtl(tfrac12,t^-1/2r) =tfrac12cdotl(-tfrac12r),t^-3/2 =-14,t^-3/2 =-14,t^3/2

Resposta

(a) 17
(b) 16
(c) v(t)=12raizt, a(t)=-14,t^3/2

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