Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral
, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
A questão pede para a gente analisar a sequência definida por
, ver se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo envolvido é sequência e limite de sequência, e vamos precisar da periodicidade da função seno e da definição de limite de sequência.
Passo 2
Para entender o comportamento, vamos calcular os primeiros termos pra ver um padrão: para
temos:
,
,
,
,
. Já dá pra notar uma oscilação.
Passo 3
Agora, pra deixar mais claro, observe o padrão conforme o resto da divisão de
por 4. Escrevendo com
:
Passo 4
Quando
:
Quando
:
Quando
:
Quando
:
Passo 5
A sequência, portanto, assume ciclicamente os valores 1, 0, –1, 0, 1, … e nunca se aproxima de um único número. Pela definição de limite de sequência, não existe
tal que, a partir de algum
, todos os
fiquem arbitrariamente próximos de
. Logo a sequência diverge.
Resposta
A sequência diverge, pois seus termos oscilam entre 1, 0 e –1 sem se aproximarem de um único valor.