Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=sen n pi2

Passo 1

A questão pede para a gente analisar a sequência definida por xn = senl(npi2r), ver se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo envolvido é sequência e limite de sequência, e vamos precisar da periodicidade da função seno e da definição de limite de sequência.

Passo 2

Para entender o comportamento, vamos calcular os primeiros termos pra ver um padrão: para n=1,2,3,4,5 temos: x1 = senl(tfracpi2r)=1, x2 = sen(pi)=0, x3 = senl(tfrac3pi2r)=-1, x4 = sen(2pi)=0, x5 = senl(tfrac5pi2r)=1. Já dá pra notar uma oscilação.

Passo 3

Agora, pra deixar mais claro, observe o padrão conforme o resto da divisão de n por 4. Escrevendo com n=4k,4k+1,4k+2,4k+3:

Passo 4

Quando n = 4k:
x4k = senl(tfrac4kpi2r) = sen(2kpi) = 0
Quando n = 4k+1:
x4k+1 = senl(tfrac(4k+1)pi2r) = 1
Quando n = 4k+2:
x4k+2 = senl(tfrac(4k+2)pi2r) = sen(pi+2kpi) = 0
Quando n = 4k+3:
x4k+3 = senl(tfrac(4k+3)pi2r) = -1

Passo 5

A sequência, portanto, assume ciclicamente os valores 1, 0, –1, 0, 1, … e nunca se aproxima de um único número. Pela definição de limite de sequência, não existe L tal que, a partir de algum n, todos os xn fiquem arbitrariamente próximos de L. Logo a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge, pois seus termos oscilam entre 1, 0 e –1 sem se aproximarem de um único valor.

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