Determine o comprimento da espiral logarítmica r=e^theta / 2 de theta=0 a theta=2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da espiral logarítmica r=e^theta/2 para theta variando de 0 a 2. Esse tipo de problema usa cálculo de curvas em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares é
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui temos r(theta)=e^theta/2, então vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Precisamos da derivada r'(theta). Calculando,
r'(theta) = ddthetae^theta/2 = tfrac12,e^theta/2

Passo 4

Agora montamos o integrando:
raizr^2 + (r')^2 = raize^theta + l(tfrac12 e^theta/2r)^2 = raize^theta + tfrac14,e^theta = raiztfrac54,e^theta = tfracraiz52,e^theta/2

Passo 5

Então o comprimento fica
L = integral0^2 tfracraiz52,e^theta/2,dtheta
Basta agora integrar o termo exponencial e aplicar os limites de 0 a 2 para concluir o cálculo.

Resposta

raiz5,(e - 1)

Exercícios relacionados