Determine o comprimento de onda da linha limite (o menor comprimento de onda possível, correspondente à transição de n=\infty ) da série de Paschen do hidrogênio.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda da linha limite (ou seja, o menor comprimento de onda possível, correspondente à transição de n=\infty) da série de Paschen do hidrogênio. Informações relevantes que o enunciado fornece implicitamente ou que são padrão e usaremos:
  • A série de Paschen corresponde a transições que terminam no nível final n_{\text{f}}=3.
  • A linha limite ocorre quando o nível inicial vai para n_{\text{i}}=\infty (ou seja, ionização reversa para n=3).
  • Será necessário usar a constante de Rydberg para o hidrogênio; usaremos o valor padrão R_H = 1{,}0973731568508\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}.

Passo 2

Apresentando a fórmula que relaciona os níveis quânticos com o comprimento de onda emitido: a fórmula de Rydberg para hidrogênio é
\frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_{\text{f}}^{2}}-\frac{1}{n_{\text{i}}^{2}}\right).
Explicando cada símbolo dessa fórmula:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros, \mathrm{m});
  • R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio, em \mathrm{m^{-1}};
  • n_{\text{f}} é o número quântico do nível final (inteiro positivo);
  • n_{\text{i}} é o número quântico do nível inicial (inteiro maior que n_{\text{f}}, ou \infty para a linha limite).
    Essa fórmula vem da diferença de energias entre dois níveis ligados do átomo de hidrogênio e relaciona essa energia com a frequência (e, por c=\lambda \nu, com o comprimento de onda) do fóton emitido.

Passo 3

Aplicando a condição da linha limite: n_{\text{i}}\to\infty. Nesse caso \dfrac{1}{n_{\text{i}}^{2}}\to 0, logo a fórmula simplifica para
\frac{1}{\lambda_{\text{lim}}}=R_H\frac{1}{n_{\text{f}}^{2}}.
Como estamos na série de Paschen, n_{\text{f}}=3. Portanto
\frac{1}{\lambda_{\text{lim}}}=R_H\frac{1}{3^{2}}=R_H\frac{1}{9}.

Passo 4

Isolando \lambda_{\text{lim}} e substituindo numericamente R_H:
\lambda_{\text{lim}}=\frac{9}{R_H}
\lambda_{\text{lim}}=\frac{9}{1{,}0973731568508\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}}.
Fazendo a conta:
\lambda_{\text{lim}}=8{,}2029\times10^{-7}\,\mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda_{\text{lim}}=820{,}29\\ \mathrm{nm}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
\lambda_{\text{lim}}\approx820{,}3\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Pequena verificação conceitual para fixar a ideia: para uma transição finita, por exemplo n=4\to3 (Paschen \alpha), a fórmula dá
\frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=R_H\frac{7}{144},
o que leva a \lambda\approx1{,}874\times10^{-6}\,\mathrm{m}=1874\\ \mathrm{nm}, bem maior que 820{,}3\\ \mathrm{nm}. Isso confirma que a linha limite ( n=\infty\to3 ) é de menor comprimento de onda (maior energia) que as transições vindas de níveis finitos.

Passo 6

Dica rápida para a prova: memorize a fórmula de Rydberg e saiba que a linha limite é obtida fazendo n_{\text{i}}\to\infty (ou seja, anulando o termo 1/n_{\text{i}}^{2}). Isso transforma o cálculo numa substituição direta e rápida.

Passo 7

Força aí — deu trabalho, mas este tipo de conta é direto na prova: identificar n_{\text{f}}, aplicar Rydberg, fazer n_{\text{i}}=\infty e calcular. Respire, confia e bora pra próxima!

Resposta

820{,}3\\ \mathrm{nm}

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