Determine o comprimento da parábola com equação P: y=x^22, com 0 <= x <= raiz3.

Passo 1

Beleza, então temos que descobrir o comprimento da parábola dada pela equação P: y = x^22 no intervalo de 0 <= x <= raiz3 . Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva y = f(x) entre dois pontos a e b . A fórmula é:
L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Aqui, L é o comprimento da curva, e dydx é a derivada de y em relação a x .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y = x^22 em relação a x :
dydx = ddx ( x^22 ) = x

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
L = integral0^raiz3 raiz1 + x^2 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração que envolve funções hiperbólicas ou substituições trigonométricas. A integral de raiz1 + x^2 , dx é:
12 ( x raiz1 + x^2 + ln(x + raiz1 + x^2) )

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a raiz3 :
L = 12 ( raiz3 cdot raiz1 + (raiz3)^2 + ln(raiz3 + raiz1 + (raiz3)^2) ) - 12 ( 0 + ln(0 + 1) )
Simplificando:
L = 12 ( raiz3 cdot 2 + ln(raiz3 + 2) )
L = raiz3 + 12 ln(raiz3 + 2)

Passo 7

Agora, calculamos os valores numéricos:
raiz3 approx 1,732
ln(raiz3 + 2) approx ln(3,732) approx 1,317
Assim:
L approx 1,732 + 1,3172 approx 1,732 + 0,658 approx 2,390 unidades

Resposta

O comprimento da parábola no intervalo dado é aproximadamente 2,39 unidades.

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