Determine o comprimento da parábola com equação
, com
.
Passo 1
Beleza, então temos que descobrir o comprimento da parábola dada pela equação
no intervalo de
. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento da curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração que envolve funções hiperbólicas ou substituições trigonométricas. A integral de
é:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos os valores numéricos:
Assim:
Resposta
O comprimento da parábola no intervalo dado é aproximadamente 2,39 unidades.