Seja
definida por
. Determine:
A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de f em relação ao eixo
, com
.
A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de f em relação ao eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \sin(x) $ e precisa descobrir a área da superfície que se forma quando giramos o gráfico dessa função em torno do eixo $ Ox $, entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $. Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula para áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ Ox $. A fórmula é:
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e $ \pi $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ f(x) = \sin(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Então, temos:
Passo 4
Vamos substituir $ f(x) = \sin(x) $ e $ f’(x) = \cos(x) $ na fórmula da área:
Passo 5
Essa integral parece complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição trigonométrica. Vamos definir $ u = \cos(x) $, então:
Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $ e quando $ x = \pi $, $ u = -1 $. Substituindo na integral:
Como a função $ \sqrt{1 + u^2} $ é par (isto é, $ \sqrt{1 + u^2} = \sqrt{1 + (-u)^2} $), podemos simplificar a integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + u^2} , du $. A antiderivada dessa função é:
Vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 1:
Para $ u = 1 $:
Para $ u = 0 $:
Então, a integral fica:
Multiplicando por $ 4\pi $:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de $ f(x) = \sin(x) $ em torno do eixo $ Ox $ de $ x = 0 $ até $ x = \pi $ é: