Seja f: R R definida por f(x)=sen(x). Determine:
A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de f em relação ao eixo O x, com 0 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \sin(x) $ e precisa descobrir a área da superfície que se forma quando giramos o gráfico dessa função em torno do eixo $ Ox $, entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $. Para resolver isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula para áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ Ox $. A fórmula é:
Ox
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e $ \pi $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ f(x) = \sin(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $. Então, temos:
f(x) = sin(x)

Passo 4

Vamos substituir $ f(x) = \sin(x) $ e $ f’(x) = \cos(x) $ na fórmula da área:
f(x) = sin(x)

Passo 5

Essa integral parece complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição trigonométrica. Vamos definir $ u = \cos(x) $, então:
u = cos(x)
Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $ e quando $ x = \pi $, $ u = -1 $. Substituindo na integral:
du = -sin(x) , dx ou -du = sin(x) , dx
Como a função $ \sqrt{1 + u^2} $ é par (isto é, $ \sqrt{1 + u^2} = \sqrt{1 + (-u)^2} $), podemos simplificar a integral:
x = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + u^2} , du $. A antiderivada dessa função é:
integral raiz1 + u^2 , du
Vamos avaliar essa antiderivada de 0 a 1:
Para $ u = 1 $:
integral raiz1 + u^2 , du = u2 raiz1 + u^2 + 12 ln(u + raiz1 + u^2) + C
Para $ u = 0 $:
u = 1
Então, a integral fica:
12 raiz2 + 12 ln(1 + raiz2)
Multiplicando por $ 4\pi $:
u = 0

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação do gráfico de $ f(x) = \sin(x) $ em torno do eixo $ Ox $ de $ x = 0 $ até $ x = \pi $ é:
f(x) = sin(x)

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