Determine os comprimentos iniciais L_{O A} e L_{O B} de duas barras metálicas (na temperatura ambiente) com coeficientes de dilatação \alpha_{A}=18 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \alpha_{B}=12 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, de maneira que a diferença dos seus comprimentos seja igual a 5 cm em qualquer temperatura.

Passo 1

O enunciado dá duas barras A e B, com coeficientes de dilatação linear \alpha_{A}=18\times10^{-6}\,^{\circ}\text{C}^{-1} e \alpha_{B}=12\times10^{-6}\,^{\circ}\text{C}^{-1}. Se L_{0A} e L_{0B} são seus comprimentos iniciais (à temperatura ambiente), a condição é que, para qualquer variação de temperatura \Delta T, a diferença
L_{B}(\Delta T)-L_{A}(\Delta T)=5\,\text{cm}
se mantenha constante.

Passo 2

A dilatação linear leva cada comprimento a
L_{A}(\Delta T)=L_{0A}\bigl(1+\alpha_{A}\,\Delta T\bigr), \quad L_{B}(\Delta T)=L_{0B}\bigl(1+\alpha_{B}\,\Delta T\bigr).
Logo a diferença é
L_{B}(\Delta T)-L_{A}(\Delta T) = \bigl(L_{0B}-L_{0A}\bigr) + \bigl(L_{0B}\,\alpha_{B}-L_{0A}\,\alpha_{A}\bigr)\,\Delta T.

Passo 3

Como essa diferença deve ser 5\,\text{cm} para todo \Delta T, o coeficiente de \Delta T tem de ser zero:
L_{0B}\,\alpha_{B}-L_{0A}\,\alpha_{A}=0 \quad\Longrightarrow\quad L_{0B}\,\alpha_{B}=L_{0A}\,\alpha_{A} \quad\Longrightarrow\quad L_{0B}=\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}\,L_{0A}.

Passo 4

Além disso, à temperatura inicial \Delta T=0 a diferença é
L_{0B}-L_{0A}=5\,\text{cm}.
Substituindo L_{0B}=(\alpha_{A}/\alpha_{B})\,L_{0A} obtemos
\Bigl(\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}-1\Bigr)L_{0A}=5\,\text{cm} \quad\Longrightarrow\quad L_{0A} =\frac{5\,\text{cm}}{\displaystyle\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}-1}.

Passo 5

Numericamente,
\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}=\frac{18\times10^{-6}}{12\times10^{-6}}=1{,}5,
então
L_{0A}=\frac{5\,\text{cm}}{1{,}5-1}= \frac{5\,\text{cm}}{0{,}5}=10\,\text{cm},
e
L_{0B}=\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}\,L_{0A}=1{,}5\times10\,\text{cm}=15\,\text{cm}.

Resposta

L_{0A}=10\,\text{cm} L_{0B}=15\,\text{cm}

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