Determine o comutador de S^{2} \operatorname{com} S_{z}^{(1)} (em que mathbf S=\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(1)} ). Generalize seu resultado para mostrar que
\left[S^{2}, \mathbf{S}^{(1)}\right]=2 i \hbar\left(\mathbf{S}^{(1)} \times \mathbf{S}^{(2)}\right)
Comentário: como S_{z}^{(1)} não comuta com S^{2}, não podemos esperar encontrar estados que sejam simultaneamente autovetores de ambos. Para formar autoestados de S^{2} precisamos de combinações lineares de autoestados de S_{z}^{(1)}. Isso é precisamente o que os coeficientes de Clebsch-Gordan (na Equação 4.185) fazem por nós. Por outro lado, segue-se por dedução óbvia, com base na Equação 4.187, que a soma \mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)} comuta com S^{2}, que é um caso especial de algo que já sabíamos (veja Equação 4.103).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se explicitamente o comutador entre \,S^{2}\, e \,S_{z}^{(1)}, onde
    \mathbf{S}=\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)}.
  • Depois pede-se generalizar o resultado e mostrar que \left[S^{2}, \mathbf{S}^{(1)}\right]=2 i \hbar\left(\mathbf{S}^{(1)} \times \mathbf{S}^{(2)}\right).
  • Informação importante que vem do contexto (e que usaremos): operadores de spin dos dois subsistemas satisfazem as relações de comutação usuais de momento angular e diferentes subsistemas comutam entre si. Em símbolos: \left[S_{a}^{(p)},S_{b}^{(q)}\right]=i\hbar\,\delta_{pq}\,\varepsilon_{abc}\,S_{c}^{(p)},onde p,q\in\{1,2\} indicam os spins 1 e 2, a,b,c\in\{x,y,z\} são componentes cartesianas, \delta_{pq} é o delta de Kronecker e \varepsilon_{abc} é o símbolo de Levi-Civita.
  • Também vamos usar a definição do produto vetorial de operadores: \big(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\big)_{i}=\varepsilon_{ijk}\,A_{j}\,B_{k}.

Passo 2

Explicar e expandir \,S^{2}\, em termos dos dois spins.
  • Por definição escalar, S^{2}=\mathbf{S}\cdot\mathbf{S}=(\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)})\cdot(\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)}).
  • Expandindo, S^{2}=(\mathbf{S}^{(1)})^{2}+(\mathbf{S}^{(2)})^{2}+2\,\mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)}.Aqui (\mathbf{S}^{(1)})^{2}=\sum_{k} \big(S_{k}^{(1)}\big)^{2} e análogo para (\mathbf{S}^{(2)})^{2}.

Passo 3

Observar quais termos comutam trivially com \,S_{z}^{(1)}.
  • Pelo fato de que operadores pertencentes a subsistemas diferentes comutam,
    \left[(\mathbf{S}^{(2)})^{2},S_{z}^{(1)}\right]=0.
  • Para um único spin p vale a identidade bem conhecida \left[(\mathbf{S}^{(p)})^{2},S_{i}^{(p)}\right]=0, pois (\mathbf{S}^{(p)})^{2} é invariante de rotação do spin p. Assim
    \left[(\mathbf{S}^{(1)})^{2},S_{z}^{(1)}\right]=0.
    (Se quiser ver por escrito: isso segue de \left[S_{j}^{(1)}S_{j}^{(1)},S_{i}^{(1)}\right]=S_{j}^{(1)}[S_{j}^{(1)},S_{i}^{(1)}]+[S_{j}^{(1)},S_{i}^{(1)}]S_{j}^{(1)} e usando [S_{j}^{(1)},S_{i}^{(1)}]=i\hbar\varepsilon_{j i k}S_{k}^{(1)}; as duas parcelas somam zero por propriedades cíclicas do \varepsilon.)
  • Conclusão imediata: o único termo de S^{2} que pode contribuir para \left[S^{2},S_{z}^{(1)}\right] é o termo misto 2\,\mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)}. Portanto
    \left[S^{2},S_{z}^{(1)}\right]=2\left[\mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right].

Passo 4

Calcular o comutador componente a componente: escrever \mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)} como soma e usar as regras de comutação.
  • Escrevendo explicitamente a soma por índices: \mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)}=\sum_{k}S_{k}^{(1)}S_{k}^{(2)}.
  • Então \left[\mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right] =\sum_{k}\left[S_{k}^{(1)}S_{k}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right].
  • Para cada termo use a identidade \left(AB,C\right)=A\,[B,C]+[A,C]\,B. Aplicando: \left[S_{k}^{(1)}S_{k}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right] =\left[S_{k}^{(1)},S_{z}^{(1)}\right]S_{k}^{(2)}+S_{k}^{(1)}\left[S_{k}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right].
  • Mas \left[S_{k}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right]=0 porque são operadores de subsistemas diferentes. Logo \left[S_{k}^{(1)}S_{k}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right]=\left[S_{k}^{(1)},S_{z}^{(1)}\right]S_{k}^{(2)}.

Passo 5

Usar a relação de comutação do momento angular para avaliar \left[S_{k}^{(1)},S_{z}^{(1)}\right] e somar.
  • Relacionamento básico (para o mesmo subsistema 1): \left[S_{k}^{(1)},S_{z}^{(1)}\right]=i\hbar\,\varepsilon_{k z m}\,S_{m}^{(1)}.Aqui z é o índice da componente z, que podemos identificar como 3 se preferir índices numéricos.
  • Substituindo no somatório: \left[\mathbf{S}^{(1)}\cdot\mathbf{S}^{(2)},S_{z}^{(1)}\right] =\sum_{k} \big(i\hbar\,\varepsilon_{k z m}\,S_{m}^{(1)}\big)\,S_{k}^{(2)} =i\hbar\sum_{k,m}\varepsilon_{k z m}\,S_{m}^{(1)}S_{k}^{(2)}.
  • Multiplicando pelo fator 2 vindo do Passo 3: \left[S^{2},S_{z}^{(1)}\right]=2i\hbar\sum_{k,m}\varepsilon_{k z m}\,S_{m}^{(1)}S_{k}^{(2)}.

Passo 6

Reconhecer a soma como a componente z de um produto vetorial e escrever o resultado final para a componente z.
  • Pela definição do produto vetorial de operadores, \big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)_{z} =\sum_{j,k}\varepsilon_{z j k}\,S_{j}^{(1)}S_{k}^{(2)}.
  • Usando as propriedades cíclicas do símbolo de Levi-Civita (por exemplo \varepsilon_{k z m}=\varepsilon_{z m k}), a soma obtida no Passo 5 é igual a \big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)_{z}. Portanto \boxed{\\ \left[S^{2},S_{z}^{(1)}\right]=2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)_{z}\\ }.
  • Isto responde a primeira parte pedida (o comutador com a componente z).

Passo 7

Generalizar para todas as componentes e escrever o resultado vetorial.
  • O cálculo do Passo 4–6 não usa nenhuma propriedade especial do índice z além de tratá-lo como um índice fixo. Repetindo o mesmo raciocínio para uma componente arbitrária i\in\{x,y,z\} obtemos \left[S^{2},S_{i}^{(1)}\right]=2i\hbar\sum_{j,k}\varepsilon_{i j k}\,S_{j}^{(1)}S_{k}^{(2)} =2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)_{i}.
  • Agrupando em forma vetorial: \boxed{\\ \left[S^{2},\mathbf{S}^{(1)}\right]=2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)\\ }.

Passo 8

Interpretação rápida e comentário útil para a prova (ânimo!).
  • A identidade mostra por que \mathbf{S}^{(1)} não comuta com S^{2} em geral: o comutador é proporcional ao produto cruzado \mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}, que em geral não é zero.
  • Note que se somarmos os spins \mathbf{S}=\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)} então, pela propriedade distributiva do comutador, \left[S^{2},\mathbf{S}\right]=\left[S^{2},\mathbf{S}^{(1)}+\mathbf{S}^{(2)}\right] =2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}+\mathbf{S}^{(2)}\times\mathbf{S}^{(1)}\big)=0,porque \mathbf{A}\times\mathbf{B}=-\mathbf{B}\times\mathbf{A}. Assim \mathbf{S} comuta com S^{2}, como esperado — é por isso que podemos rotular autovetores por S^{2} e pela componente de \mathbf{S} (por exemplo S_{z}), mas não por S_{z}^{(1)} e S^{2} simultaneamente.
  • Força aí: isso explica por que precisa-se formar combinações lineares (coeficientes de Clebsch–Gordan) para obter autovetores comuns de S^{2}.

Resposta

\left[S^{2},S_{z}^{(1)}\right]=2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)_{z}
\left[S^{2},\mathbf{S}^{(1)}\right]=2i\hbar\big(\mathbf{S}^{(1)}\times\mathbf{S}^{(2)}\big)

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