Determine o comutador de
(em que mathbf
). Generalize seu resultado para mostrar que
Comentário: como
não comuta com
, não podemos esperar encontrar estados que sejam simultaneamente autovetores de ambos. Para formar autoestados de
precisamos de combinações lineares de autoestados de
. Isso é precisamente o que os coeficientes de Clebsch-Gordan (na Equação 4.185) fazem por nós. Por outro lado, segue-se por dedução óbvia, com base na Equação 4.187, que a soma
comuta com
, que é um caso especial de algo que já sabíamos (veja Equação 4.103).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se explicitamente o comutador entre
e , onde
. - Depois pede-se generalizar o resultado e mostrar que
- Informação importante que vem do contexto (e que usaremos): operadores de spin dos dois subsistemas satisfazem as relações de comutação usuais de momento angular e diferentes subsistemas comutam entre si. Em símbolos:
onde indicam os spins 1 e 2, são componentes cartesianas, é o delta de Kronecker e é o símbolo de Levi-Civita. - Também vamos usar a definição do produto vetorial de operadores:
Passo 2
Explicar e expandir
em termos dos dois spins.
- Por definição escalar,
- Expandindo,
Aqui e análogo para .
Passo 3
Observar quais termos comutam trivially com
.
-
Pelo fato de que operadores pertencentes a subsistemas diferentes comutam,
-
Para um único spin
vale a identidade bem conhecida , pois é invariante de rotação do spin . Assim (Se quiser ver por escrito: isso segue dee usando ; as duas parcelas somam zero por propriedades cíclicas do .) -
Conclusão imediata: o único termo de
que pode contribuir para é o termo misto . Portanto
Passo 4
Calcular o comutador componente a componente: escrever
como soma e usar as regras de comutação.
- Escrevendo explicitamente a soma por índices:
- Então
- Para cada termo use a identidade
. Aplicando: - Mas
porque são operadores de subsistemas diferentes. Logo
Passo 5
Usar a relação de comutação do momento angular para avaliar
e somar.
- Relacionamento básico (para o mesmo subsistema
): Aqui é o índice da componente , que podemos identificar como se preferir índices numéricos. - Substituindo no somatório:
- Multiplicando pelo fator
vindo do Passo 3:
Passo 6
Reconhecer a soma como a componente
de um produto vetorial e escrever o resultado final para a componente
.
- Pela definição do produto vetorial de operadores,
- Usando as propriedades cíclicas do símbolo de Levi-Civita (por exemplo
), a soma obtida no Passo 5 é igual a . Portanto - Isto responde a primeira parte pedida (o comutador com a componente
).
Passo 7
Generalizar para todas as componentes e escrever o resultado vetorial.
- O cálculo do Passo 4–6 não usa nenhuma propriedade especial do índice
além de tratá-lo como um índice fixo. Repetindo o mesmo raciocínio para uma componente arbitrária obtemos - Agrupando em forma vetorial:
Passo 8
Interpretação rápida e comentário útil para a prova (ânimo!).
- A identidade mostra por que
não comuta com em geral: o comutador é proporcional ao produto cruzado , que em geral não é zero. - Note que se somarmos os spins
então, pela propriedade distributiva do comutador, porque . Assim comuta com , como esperado — é por isso que podemos rotular autovetores por e pela componente de (por exemplo ), mas não por e simultaneamente. - Força aí: isso explica por que precisa-se formar combinações lineares (coeficientes de Clebsch–Gordan) para obter autovetores comuns de
.