Determine a concentração de todas as espécies em equilíbrio e calcule o pH e o pOH das soluções:
0,120 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \mathrm{HNO}_{2} . \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=5,1 \times 10^{-4} .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo anotado daqui sem assumir nada extra):
  • Dados fornecidos:
    • Concentração inicial de ácido nitroso: \;[{\rm HNO_2}]_0 = 0,120\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
    • Constante de acidez: \;K_a = 5,1\times10^{-4}.
  • Perguntas:
    • Determinar as concentrações em equilíbrio de todas as espécies presentes (isto é, [{\rm HNO_2}], [{\rm H^+}] e [{\rm NO_2^-}] em equilíbrio).
    • Calcular o pH e o pOH da solução.
  • Observação importante: para relacionar pH e pOH vou usar a relação \;pH + pOH = 14, que vale à temperatura de 25^\circ\mathrm{C}. Como o enunciado não especifica temperatura, vou assumir 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo a reação e a definição de \;K_a (a “aula” prática que você pediu):
  • A dissociação do ácido fraco \mathrm{HNO_2} em água é: \mathrm{HNO_2} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{NO_2^-}.
  • A constante de acidez \;K_a é definida como: K_a=\frac{[\mathrm{H^+}]\,[\mathrm{NO_2^-}]}{[\mathrm{HNO_2}]},onde cada termo entre colchetes [\cdot] representa a concentração molar no equilíbrio.
  • Explicando cada variável:
    • [\mathrm{H^+}] é a concentração de prótons em equilíbrio (o que determina o pH).
    • [\mathrm{NO_2^-}] é a concentração do ânion nitrito em equilíbrio.
    • [\mathrm{HNO_2}] é a concentração do ácido não dissociado em equilíbrio.
    • K_a é conhecida e dada ( 5,1\times10^{-4}).

Passo 3

Montando a tabela do tipo ICE (Initial — Change — Equilibrium) para organizar as concentrações:
  • Inicialmente (antes de qualquer dissociação significativa): [\mathrm{HNO_2}]_0 = 0,120,\qquad [\mathrm{H^+}]_0 \approx 0,\qquad [\mathrm{NO_2^-}]_0 \approx 0.
  • Seja x a parcela de \mathrm{HNO_2} que se dissocia em equilíbrio. Então as variações são: \begin{aligned} [\mathrm{HNO_2}] &: \;0,120 - x,\\\ [\mathrm{H^+}] &: \;0 + x = x,\\\ [\mathrm{NO_2^-}] &: \;0 + x = x. \end{aligned}
  • Em equilíbrio as concentrações são: [\mathrm{HNO_2}]_{eq}=0,120-x,\qquad [\mathrm{H^+}]_{eq}=x,\qquad [\mathrm{NO_2^-}]_{eq}=x.

Passo 4

Escrevendo a expressão de K_a em função de x e montando a equação para x:
  • Substituindo as concentrações de equilíbrio em \;K_a=\dfrac{[\mathrm{H^+}]\,[\mathrm{NO_2^-}]}{[\mathrm{HNO_2}]} obtém-se: K_a=\frac{x\cdot x}{0,120-x}=\frac{x^2}{0,120-x}.
  • Isolando tudo numa equação polinomial (para poder resolver sem aproximação): K_a(0,120-x)=x^2
\Rightarrow K_a\cdot0,120 - K_a x = x^2
\Rightarrow x^2 + K_a x - K_a\cdot0,120 = 0.
  • Esta é uma equação quadrática na incógnita x. Vamos resolver exatamente com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).

Passo 5

Resolvendo a quadrática para x com números:
  • A equação é \;x^2 + K_a x - K_a\cdot0,120 = 0. Aplicando a fórmula quadrática: x=\frac{-K_a \pm \sqrt{K_a^2 + 4K_a\cdot0,120}}{2}.
  • Substituindo K_a=5,1\times10^{-4}: \begin{aligned} K_a^2 &= (5,1\times10^{-4})^2 = 2,601\times10^{-7},\\[4pt] 4K_a\cdot0,120 &= 4\cdot(5,1\times10^{-4})\cdot0,120 = 2,448\times10^{-4}. \end{aligned}
  • Logo o discriminante é K_a^2 + 4K_a\cdot0,120 = 2,601\times10^{-7} + 2,448\times10^{-4} = 2,4506\times10^{-4}.
  • A raiz quadrada vale \sqrt{2,4506\times10^{-4}} \approx 0,015652.
  • Tomando a raiz positiva (a outra raiz dá valor negativo para x, impossível fisicamente): x=\frac{-5,1\times10^{-4} + 0,015652}{2}=\frac{0,015142}{2}=0,007571.
  • Portanto: [\mathrm{H^+}]_{eq} = x \approx 0,007571\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Verificação rápida da aproximação usual \;x\approx\sqrt{K_a C_0}: isso daria \sqrt{5,1\times10^{-4}\cdot0,120}\approx0,00783, próxima do valor exato; a percentagem de dissociação é \frac{x}{0,120}\times100\% \approx \frac{0,007571}{0,120}\times100\% \approx 6,31\%,um pouco maior que 5\% (então usar a solução exata foi a escolha adequada).]

Passo 6

Determinando todas as concentrações em equilíbrio numericamente:
  • Como encontramos x=0,007571, então [\mathrm{H^+}]_{eq}=0,007571\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{NO_2^-}]_{eq}=0,007571\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
[\mathrm{HNO_2}]_{eq}=0,120-0,007571=0,112429\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}\\ (\text{aprox. }0,112\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}).

Passo 7

Cálculo do pH e do pOH (a explicação do que é e como calcular):
  • Definição e fórmula usadas: pH = -\log_{10}\!\bigl([\mathrm{H^+}]\bigr).Aqui [\mathrm{H^+}] é a concentração molar de prótons em equilíbrio.
  • Calculando o pH: pH = -\log_{10}(0,007571) = -\bigl(\log_{10}(7,571) + \log_{10}(10^{-3})\bigr) = -\bigl(0,8790 - 3\bigr)=2,1210.Arredondando razoavelmente: pH\approx2,12.
  • Usando pH+pOH=14 (assumindo 25^\circ\mathrm{C}): pOH = 14 - pH \approx 14 - 2,1210 = 11,8790 \approx 11,88.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo (você consegue!): a solução de \mathrm{HNO_2} 0,120 M é moderadamente ácida; a dissociação é parcial (cerca de 6{,}3\%), por isso temos pH na faixa de 2. Use sempre o ICE e, se a porcentagem de dissociação for maior que \sim5\%, prefira resolver a quadrática exata como fizemos.

Resposta

[{\rm HNO_2}]_{eq}=0,112\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
[{\rm H^+}]_{eq}=[{\rm NO_2^-}]_{eq}=7,57\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
pH=2,12
pOH=11,88

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