Determine quais conclusões a seguir estão logicamente corretas, usando um dos sistemas de dedução vistos.
Se x é positivo, então y é negativo. Se z é negativo, então y é negativo. Portanto, se x é positivo ou z é negativo, então y é negativo.

Passo 1

O enunciado dá duas implicações sobre x, y e z e pede para provar que, a partir delas, podemos concluir outra implicação envolvendo a disjunção. O conteúdo é cálculo proposicional e vamos precisar usar as regras de modo ponens, eliminação de disjunção e introdução de implicação.

Passo 2

Formalizamos as sentenças:
  • Seja P: “x é positivo”.
  • Seja Q: “y é negativo”.
  • Seja R: “z é negativo”.
    As premissas ficam:
  1. P → Q
  2. R → Q

Passo 3

Para provar (P ∨ R) → Q, começamos por uma prova condicional. Suponha (P ∨ R).

Passo 4

Aplicamos eliminação de disjunção:
  • Caso 1: suponha P. De 1 e modus ponens, obtemos Q.
  • Caso 2: suponha R. De 2 e modus ponens, obtemos Q.
    Como em ambos os casos chegamos a Q, pela regra de eliminação de disjunção em (P ∨ R) obtemos Q.

Passo 5

Finalmente, pela regra de introdução de implicação, de nossa suposição (P ∨ R) que levou a Q, concluímos:
(P lor R) to Q

Resposta

A conclusão “se x é positivo ou z é negativo, então y é negativo” é logicamente válida.

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