Determine quais conclusões a seguir estão logicamente corretas, usando um dos sistemas de dedução vistos.
Se x é positivo, então y é negativo. Se z é negativo, então y é negativo. Portanto, se x é positivo ou z é negativo, então y é negativo.
Se x é positivo, então y é negativo. Se z é negativo, então y é negativo. Portanto, se x é positivo ou z é negativo, então y é negativo.
Passo 1
O enunciado dá duas implicações sobre x, y e z e pede para provar que, a partir delas, podemos concluir outra implicação envolvendo a disjunção. O conteúdo é cálculo proposicional e vamos precisar usar as regras de modo ponens, eliminação de disjunção e introdução de implicação.
Passo 2
Formalizamos as sentenças:
- Seja P: “x é positivo”.
- Seja Q: “y é negativo”.
- Seja R: “z é negativo”.
As premissas ficam:
- P → Q
- R → Q
Passo 3
Para provar (P ∨ R) → Q, começamos por uma prova condicional. Suponha (P ∨ R).
Passo 4
Aplicamos eliminação de disjunção:
- Caso 1: suponha P. De 1 e modus ponens, obtemos Q.
- Caso 2: suponha R. De 2 e modus ponens, obtemos Q.
Como em ambos os casos chegamos a Q, pela regra de eliminação de disjunção em (P ∨ R) obtemos Q.
Passo 5
Finalmente, pela regra de introdução de implicação, de nossa suposição (P ∨ R) que levou a Q, concluímos:
Resposta
A conclusão “se x é positivo ou z é negativo, então y é negativo” é logicamente válida.