Seja E uma fórmula e x uma variável. Responda, justificando:
(a) É possível haver ocorrências de x em E livres e ligadas?
(b) É possível a variável x ser livre e ligada em E ao mesmo tempo?

Passo 1

Estamos analisando uma fórmula E e a variável x no contexto de lógica de predicados, e queremos entender ocorrências livres vs. ligadas e o status da própria variável.

Passo 2

Em lógica de predicados, uma ocorrência de x em E é ligada se estiver no escopo de um quantificador como ∀x ou ∃x, e é livre se não estiver sob escopo de nenhum quantificador que a vincule.

Passo 3

Para (a), basta dar um exemplo: seja
E = (forall x,P(x)) land Q(x)
Nesse E, em P(x) a ocorrência de x está ligada pelo ∀x, e em Q(x) a ocorrência de x está livre. Logo, E contém ocorrências livres e ligadas de x.

Passo 4

Para (b), definimos que x é variável livre em E se existe ao menos uma ocorrência livre, e é variável ligada em E se existe ao menos uma ocorrência ligada. No exemplo anterior, x tem ambas, portanto x é livre e ligada em E simultaneamente.

Resposta

(a) Sim. (b) Sim.

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