Determine uma condição que a, b e c devem satisfazer de modo que w=(a,b,c) seja uma combinação linear de u=(1,-3,2), v=(2,-1,1). (R: a-3 b-5 c=0).

Passo 1

O enunciado pede determinar uma condição que os escalares a, b e c devem satisfazer para que o vetor
w=(a,b,c)
seja combinação linear dos vetores
u=(1,-3,2) e v=(2,-1,1)
Vamos usar o fato de que isso equivale a existir x,y tais que
w = x,u + y,v

Passo 2

Escrevendo componente a componente a igualdade w = x,u + y,v, obtemos o sistema
x + 2y = a, -3x - y = b, 2x + y = c

Passo 3

Das duas primeiras equações isolemos y e x. Da segunda,
y = -3x - b
Substituindo na primeira,
x + 2(-3x - b) = a Longrightarrow -5x - 2b = a Longrightarrow x = -a + 2b5
Em seguida,
y = -3l(-a + 2b5r) - b = 3(a + 2b)5 - b = 3a + 6b - 5b5 = 3a + b5

Passo 4

Para que haja solução, a terceira equação deve ser satisfeita por esses x e y. Substituindo em 2x + y = c:
2gl(-a + 2b5gr) + 3a + b5 = c Longrightarrow -2a + 4b5 + 3a + b5 = c Longrightarrow a - 3b5 = c Longrightarrow a - 3b - 5c = 0

Resposta

A condição é
a - 3b - 5c = 0

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