Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes nxn sobre um corpo K . Mostre que W é subespaço de V , onde:
W consiste de todas as matrizes que comutam com uma dada matriz T , ou seja,
AT=TA} (R: sim)
W consiste de todas as matrizes que comutam com uma dada matriz T , ou seja,
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as matrizes
sobre um corpo
e define
onde
é uma matriz fixa em
. Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
- Verificar que o vetor zero pertence a
. - Verificar que
é fechado sob adição. - Verificar que
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero
comuta com qualquer matriz. De fato,
logo
.
Passo 3
Sejam
. Então por definição
e
. Considere a soma
. Temos
portanto
. Assim,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
sim