Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes nxn sobre um corpo K . Mostre que W é subespaço de V , onde:
W consiste de todas as matrizes que comutam com uma dada matriz T , ou seja, W=A in V / AT=TA} (R: sim)

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V de todas as matrizes ntimes n sobre um corpo K e define
W = A in V mid AT = TA
onde T é uma matriz fixa em V. Queremos mostrar que W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
  1. Verificar que o vetor zero pertence a W.
  2. Verificar que W é fechado sob adição.
  3. Verificar que W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero 0 comuta com qualquer matriz. De fato,
0cdot T = 0 = Tcdot 0,
logo 0in W.

Passo 3

Sejam A,Bin W. Então por definição AT=TA e BT=TB. Considere a soma A+B. Temos
(A+B)T = AT + BT = TA + TB = T(A+B),
portanto A+Bin W. Assim, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja lambdain K e Ain W. Como AT=TA, temos
(lambda A)T = lambda,(AT) = lambda,(TA) = T(lambda A),
logo lambda Ain W. Assim, W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Resposta

sim

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