Seja V=M2(R). W=(llx & y z & t) in M2(R) / y=-x é subespaço vetorial de V? (R:sim)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M2(R) e o subconjunto
W = x & y z & tin M2(R) ;midd<=|; y = -x
Para mostrar que W é subespaço de V vamos verificar que W é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W contém a matriz nula, logo não é vazio. De fato,
0 & 0 0 & 0in W
pois y=0 e -x=0 satisfazem a condição y=-x.

Passo 3

Mostramos fechamento sob adição. Tomemos
A=x1 & -x1 z1 & t1, B=x2 & -x2 z2 & t2
com A,Bin W. Então
A+B = x1+x2 & -x1 - x2 z1+z2 & t1+t2
Como a entrada (1,2) vale -l(x1+x2r), segue que A+Bin W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
A=x & -x z & tin W
Então
lambda A = lambda x & -lambda x lambda z & lambda t
Aqui a entrada (1,2) é -(lambda x), logo lambda Ain W.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V=M2(R).

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