Determine a condição que p deve satisfazer a fim de que os vetores \vec{a}=(p,-7,5) e \vec{B}=(p, p, 2) formem ângulos obtusos. resp.: \{p \in \mathbb{R} / 2<p<5\}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(p,-7,5) e \vec{B}=(p,p,2) e pede: encontrar a condição que p deve satisfazer para que os vetores formem um ângulo obtuso. Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes de \vec{a} são p, -7 e 5.
  • As componentes de \vec{B} são p, p e 2.
  • A incógnita é o número real p.
    O objetivo final é expressar o conjunto de valores de p que tornam o ângulo entre os vetores obtuso.

Passo 2

Primeira ideia importante (aulas rápidas de teoria): existe uma relação entre produto escalar e o ângulo entre vetores. Para dois vetores \vec{u} e \vec{v} vale a fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, |\vec{u}| é o comprimento (norma) de \vec{u} e |\vec{v}| é o comprimento de \vec{v}.

Passo 3

Interpretação prática dessa fórmula para identificar o tipo de ângulo:
  • Se \cos\theta>0 então \theta é agudo.
  • Se \cos\theta=0 então \theta é reto.
  • Se \cos\theta<0 então \theta é obtuso.
    Como |\vec{u}| e |\vec{v}| são sempre positivos (desde que os vetores não sejam o vetor nulo), o sinal de \vec{u}\cdot\vec{v} coincide com o sinal de \cos\theta. Logo: o ângulo é obtuso se, e somente se, o produto escalar for negativo:
\vec{u}\cdot\vec{v}<0.

Passo 4

Antes de aplicar, verificamos que nenhum dos vetores pode ser o vetor nulo (caso contrário o ângulo não estaria bem definido). Para \vec{a}=(p,-7,5) ser nulo seria preciso -7=0 e 5=0, o que é impossível; para \vec{B}=(p,p,2) ser nulo seria preciso 2=0, também impossível. Portanto, as normas são positivas para todo p\in\mathbb{R} e podemos usar a equivalência “ângulo obtuso ⇔ produto escalar < 0”.

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{B} usando a definição componente a componente:
\vec{a}\cdot\vec{B}=p\cdot p + (-7)\cdot p + 5\cdot 2.
Fazendo as multiplicações vemos:
\vec{a}\cdot\vec{B}=p^2 -7p +10.

Passo 6

A condição para ângulo obtuso é
\vec{a}\cdot\vec{B}<0,
logo precisamos resolver a desigualdade quadrática
p^2 -7p +10 < 0.

Passo 7

Resolvendo a inequação: fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números cuja soma é -7 e cujo produto é 10. Esses números são -2 e -5, portanto
p^2 -7p +10 = (p-2)(p-5).

Passo 8

A desigualdade (p-2)(p-5)<0 é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos. Como é um produto de dois fatores lineares, isso ocorre exatamente quando p está estritamente entre as raízes 2 e 5. Assim obtemos
2<p<5.

Passo 9

Comentário de verificação e interpretação: em p=2 ou p=5 o produto escalar é zero, o que corresponde a \theta=90^\circ (ângulo reto) — portanto esses pontos são excluídos porque queremos ângulo obtuso (estritamente maior que 90^\circ). Um teste numérico rápido: para p=3 temos \vec{a}\cdot\vec{B}=9-21+10=-2<0, confirmado que dentro do intervalo a desigualdade vale.

Resposta

\{p\in\mathbb{R}\mid 2<p<5\}

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