Determine a condição que
deve satisfazer a fim de que os vetores
e
formem ângulos obtusos. resp.:
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede: encontrar a condição que
deve satisfazer para que os vetores formem um ângulo obtuso. Informações relevantes fornecidas:
- As componentes de
são , e . - As componentes de
são , e . - A incógnita é o número real
.
O objetivo final é expressar o conjunto de valores deque tornam o ângulo entre os vetores obtuso.
Passo 2
Primeira ideia importante (aulas rápidas de teoria): existe uma relação entre produto escalar e o ângulo entre vetores. Para dois vetores
e
vale a fórmula
onde
é o ângulo entre
e
,
é o comprimento (norma) de
e
é o comprimento de
.
Passo 3
Interpretação prática dessa fórmula para identificar o tipo de ângulo:
- Se
então é agudo. - Se
então é reto. - Se
então é obtuso.
Comoe são sempre positivos (desde que os vetores não sejam o vetor nulo), o sinal de coincide com o sinal de . Logo: o ângulo é obtuso se, e somente se, o produto escalar for negativo:
Passo 4
Antes de aplicar, verificamos que nenhum dos vetores pode ser o vetor nulo (caso contrário o ângulo não estaria bem definido). Para
ser nulo seria preciso
e
, o que é impossível; para
ser nulo seria preciso
, também impossível. Portanto, as normas são positivas para todo
e podemos usar a equivalência “ângulo obtuso ⇔ produto escalar < 0”.
Passo 5
Agora calculamos o produto escalar
usando a definição componente a componente:
Fazendo as multiplicações vemos:
Passo 6
A condição para ângulo obtuso é
logo precisamos resolver a desigualdade quadrática
Passo 7
Resolvendo a inequação: fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números cuja soma é
e cujo produto é
. Esses números são
e
, portanto
Passo 8
A desigualdade
é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos. Como é um produto de dois fatores lineares, isso ocorre exatamente quando
está estritamente entre as raízes
e
. Assim obtemos
Passo 9
Comentário de verificação e interpretação: em
ou
o produto escalar é zero, o que corresponde a
(ângulo reto) — portanto esses pontos são excluídos porque queremos ângulo obtuso (estritamente maior que
). Um teste numérico rápido: para
temos
, confirmado que dentro do intervalo a desigualdade vale.