Determine a condição de estacionariedade para a função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}. Em seguida, usando a matriz Hessiana verifique se é convexa, côncava ou nenhuma delas.

Passo 1

O enunciado dá a função f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3} e pede duas coisas: \n
  1. Determinar a condição de estacionariedade (ou seja, encontrar onde o gradiente é nulo). \n
  2. Usando a matriz Hessiana, verificar se a função é convexa, côncava ou nenhuma das duas (globalmente). \n
    Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f em termos de x_{1} e x_{2}.

Passo 2

O que é “condição de estacionariedade”? \n
  • Para funções diferenciáveis de várias variáveis, um ponto é estacionário se o gradiente é o vetor zero nesse ponto. \n
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x_{1},\;\partial f/\partial x_{2}). \n
    Vou calcular as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais: \n
A derivada parcial em relação a x_{1} trata x_{2} como constante, então \frac{\partial f}{\partial x_{1}}=3x_{1}^{2}.
A derivada parcial em relação a x_{2} trata x_{1} como constante, então \frac{\partial f}{\partial x_{2}}=3x_{2}^{2}.
Portanto o gradiente é \nabla f(x_{1},x_{2})=\bigl(3x_{1}^{2},\;3x_{2}^{2}\bigr).

Passo 4

Impor condição de estacionariedade: \n
Queremos \nabla f(x_{1},x_{2})=(0,0). Isso dá o sistema 3x_{1}^{2}=0,\qquad 3x_{2}^{2}=0.
Resolver cada equação: 3x_{1}^{2}=0 implica x_{1}=0. Similarmente 3x_{2}^{2}=0 implica x_{2}=0. \n
Logo o único ponto estacionário é (x_{1},x_{2})=(0,0).

Passo 5

Agora vamos à matriz Hessiana. O que é Hessiana? \n
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais: \;H(x)=\bigl[\partial^{2}f/\partial x_{i}\partial x_{j}\bigr]. \n
  • Para funções C^{2}, a Hessiana dá informação sobre curvatura local; sua definitude (positiva/negativa/indefinida) indica convexidade local/concavidade/local saddle. \n
    Vou calcular as segundas derivadas.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas: \n
  • \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl(3x_{1}^{2}\bigr)=6x_{1}. \n
  • \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}\bigl(3x_{2}^{2}\bigr)=6x_{2}. \n
  • As derivadas mistas são zero: \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=0. \n
Portanto a Hessiana é a matriz diagonal H(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix}6x_{1} & 0 \\[4pt] 0 & 6x_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Avaliar a Hessiana no ponto estacionário e interpretar: \n
  • Em (0,0) temos H(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
a matriz nula. \n
  • Quando a Hessiana no ponto crítico é a matriz nula, o teste usual (baseado em definitude) é inconclusivo: não conseguimos classificar o ponto apenas por esse valor zero. Mas o enunciado pede verificar convexidade/côncavidade da função, que é uma propriedade global; então devemos estudar H(x) para todo x.]

Passo 8

Critério global de convexidade/côncavidade via Hessiana: \n
  • Se f é duas vezes diferenciável, então f é convexa em todo o domínio se e somente se H(x) for positiva semidefinida para todo x. \n
  • Analogamente, f é côncava em todo o domínio se e somente se H(x) for negativa semidefinida para todo x. \n
    Para a nossa Hessiana diagonal, os autovalores são simplesmente as entradas diagonais: \lambda_{1}=6x_{1} e \lambda_{2}=6x_{2}. \n
    Positividade/negatividade dos autovalores depende dos sinais de x_{1} e x_{2}.

Passo 9

Análise de sinais e conclusão global: \n
  • Se escolhermos um ponto com x_{1}>0 e x_{2}>0 (por exemplo (1,1)), então \lambda_{1}=6\cdot 1>0 e \lambda_{2}=6\cdot 1>0, então H é definida positiva ali — isso mostra curvatura para cima localmente, compatível com convexidade local. \n
  • Se escolhermos um ponto com x_{1}<0 e x_{2}<0 (por exemplo (-1,-1)), então \lambda_{1}<0 e \lambda_{2}<0, então H é definida negativa ali — curvatura para baixo localmente, compatível com concavidade local. \n
  • Se escolhermos um ponto com sinais mistos, por exemplo (1,-1), então \lambda_{1}>0 e \lambda_{2}<0, então H é indefinida ali — comportamento tipo sela. \n
    Como a Hessiana muda de sinal dependendo do ponto, não existe positividade semidefinida global nem negatividade semidefinida global. Portanto f não é convexa nem côncava em todo o domínio \mathbb{R}^{2}.

Passo 10

Resumo final e observação didática: \n
  • Achamos o único ponto estacionário resolvendo \nabla f=0, resultando em (0,0). \n
  • A Hessiana diagonal \begin{pmatrix}6x_{1} & 0\\\ 0 & 6x_{2}\end{pmatrix} tem autovalores 6x_{1} e 6x_{2}, por isso seu sinal depende dos pontos; há regiões onde é positiva definida, regiões onde é negativa definida e regiões onde é indefinida. Isso impede uma propriedade global de convexidade ou concavidade.

Resposta

Condição de estacionariedade: \nabla f(x_{1},x_{2})=(3x_{1}^{2},3x_{2}^{2})=(0,0)\Rightarrow (x_{1},x_{2})=(0,0).\n
Classificação (via Hessiana): H(x_{1},x_{2})=\begin{pmatrix}6x_{1} & 0\\[4pt]0 & 6x_{2}\end{pmatrix} tem autovalores 6x_{1},6x_{2}; portanto a função não é convexa nem côncava globalmente.]

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