Determine a condição de estacionariedade para a função
. Em seguida, usando a matriz Hessiana verifique se é convexa, côncava ou nenhuma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: \n
- Determinar a condição de estacionariedade (ou seja, encontrar onde o gradiente é nulo). \n
- Usando a matriz Hessiana, verificar se a função é convexa, côncava ou nenhuma das duas (globalmente). \n
Informações relevantes dadas: a expressão explícita deem termos de e .
Passo 2
O que é “condição de estacionariedade”? \n
- Para funções diferenciáveis de várias variáveis, um ponto é estacionário se o gradiente é o vetor zero nesse ponto. \n
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais: . \n
Vou calcular as derivadas parciais de.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais: \n
A derivada parcial em relação a
trata
como constante, então
A derivada parcial em relação a
trata
como constante, então
Portanto o gradiente é
Passo 4
Impor condição de estacionariedade: \n
Queremos
. Isso dá o sistema
Resolver cada equação:
implica
. Similarmente
implica
. \n
Logo o único ponto estacionário é .
Logo o único ponto estacionário é
Passo 5
Agora vamos à matriz Hessiana. O que é Hessiana? \n
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
. \n - Para funções
, a Hessiana dá informação sobre curvatura local; sua definitude (positiva/negativa/indefinida) indica convexidade local/concavidade/local saddle. \n
Vou calcular as segundas derivadas.
Passo 6
Calcular as segundas derivadas: \n
-
\n -
\n - As derivadas mistas são zero:
\n
Portanto a Hessiana é a matriz diagonal
]
Passo 7
Avaliar a Hessiana no ponto estacionário e interpretar: \n
- Em
temos
a matriz nula. \n
- Quando a Hessiana no ponto crítico é a matriz nula, o teste usual (baseado em definitude) é inconclusivo: não conseguimos classificar o ponto apenas por esse valor zero. Mas o enunciado pede verificar convexidade/côncavidade da função, que é uma propriedade global; então devemos estudar
para todo .]
Passo 8
Critério global de convexidade/côncavidade via Hessiana: \n
- Se
é duas vezes diferenciável, então é convexa em todo o domínio se e somente se for positiva semidefinida para todo . \n - Analogamente,
é côncava em todo o domínio se e somente se for negativa semidefinida para todo . \n
Para a nossa Hessiana diagonal, os autovalores são simplesmente as entradas diagonais:e . \n
Positividade/negatividade dos autovalores depende dos sinais dee .
Passo 9
Análise de sinais e conclusão global: \n
- Se escolhermos um ponto com
e (por exemplo ), então e , então é definida positiva ali — isso mostra curvatura para cima localmente, compatível com convexidade local. \n - Se escolhermos um ponto com
e (por exemplo ), então e , então é definida negativa ali — curvatura para baixo localmente, compatível com concavidade local. \n - Se escolhermos um ponto com sinais mistos, por exemplo
, então e , então é indefinida ali — comportamento tipo sela. \n
Como a Hessiana muda de sinal dependendo do ponto, não existe positividade semidefinida global nem negatividade semidefinida global. Portantonão é convexa nem côncava em todo o domínio .
Passo 10
Resumo final e observação didática: \n
- Achamos o único ponto estacionário resolvendo
, resultando em . \n - A Hessiana diagonal
tem autovalores e , por isso seu sinal depende dos pontos; há regiões onde é positiva definida, regiões onde é negativa definida e regiões onde é indefinida. Isso impede uma propriedade global de convexidade ou concavidade.
Resposta
Condição de estacionariedade:
.\n
Classificação (via Hessiana):
tem autovalores
; portanto a função não é convexa nem côncava globalmente.]