Mostre que f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+6 é est ritamente convexa sobre S=\{x \in \mathbb{R} ; 2<x<\infty\}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a função f definida por
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+6
é estritamente convexa no conjunto S=\{x\in\mathbb{R}\;:\;2<x<\infty\}.\n
Informações dadas:
\text{função }f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+6,\qquad S=(2,\infty).çã
Pergunta a responder: provar que f é estritamente convexa em S (ou seja, mostrar que para quaisquer x,y\in S com x\neq y e qualquer \lambda\in(0,1) vale
f(\lambda x+(1-\lambda)y)<\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).
).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f. Isso é mechanical: derivada de x^{3} é 3x^{2}, de -6x^{2} é -12x, de 9x é 9 e de 6 é 0. Logo a primeira derivada é
f'(x)=3x^{2}-12x+9.
Podemos fatorar para simplificar a leitura:
f'(x)=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3).
Agora a segunda derivada (derivada de f') é
f''(x)=6x-12.

Passo 3

Analise do sinal de f''(x) em S. Escrevemos
f''(x)=6(x-2).
Para qualquer x\in S temos x>2, portanto x-2>0. Multiplicando por 6>0 obtém-se
f''(x)>0\qquad\text{para todo }x\in S.

Passo 4

Explicação didática do porquê f''(x)>0 implica estrita convexidade. Primeiro, o que significa f''(x)>0 intuitivamente: a segunda derivada mede a curvatura; f''(x)>0 indica que a inclinação f'(x) está crescendo com x, ou seja, as retas secantes ficam “cada vez mais inclinadas” — isso é exatamente a ideia de convexidade estrita (a função “abre para cima” e não é linear em nenhum trecho).
Agora, enunciamos um resultado útil (válido para funções duas vezes diferenciáveis): se uma função g é duas vezes diferenciável num intervalo e g''(t)>0 para todo t nesse intervalo, então g é estritamente convexa nesse intervalo. Em seguida eu mostro uma demonstração curta e direta desse fato, para você poder usar na prova.

Passo 5

Demonstração (curta) do resultado: seja g duas vezes diferenciável num intervalo aberto I e suponha g''(u)>0 para todo u\in I. Pegue x,y\in I com x\neq y e \lambda\in(0,1). Defina
z=\lambda x+(1-\lambda)y.
Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange (aplicável porque g\in C^{2}), existem \xi entre z e x e \eta entre z e y tais que
g(x)=g(z)+g'(z)(x-z)+\tfrac{1}{2}g''(\xi)(x-z)^{2},
g(y)=g(z)+g'(z)(y-z)+\tfrac{1}{2}g''(\eta)(y-z)^{2}.
Multiplicando a primeira igualdade por \lambda e a segunda por 1-\lambda e somando, obtemos
\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y)=g(z)+\tfrac{1}{2}\big(\lambda g''(\xi)(x-z)^{2}+(1-\lambda)g''(\eta)(y-z)^{2}\big).
Como \lambda\in(0,1) e x\neq y implicam (x-z)^{2}>0 e (y-z)^{2}>0, e como g''(\xi)>0 e g''(\eta)>0 por hipótese, o parêntese é estritamente positivo. Portanto
\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y)>g(z)=g(\lambda x+(1-\lambda)y),
o que é exatamente a desigualdade de estrita convexidade. Assim a prova do resultado está concluída.

Passo 6

Aplicando o resultado ao nosso f: já vimos que f é C^{2} (polinômio) e que f''(x)=6(x-2)>0 para todo x\in S=(2,\infty). Pelo passo anterior, isso implica que f é estritamente convexa em S. Intuitivamente: a curvatura positiva em todo o intervalo garante que qualquer combinação convexa interna cai estritamente abaixo da combinação dos valores.

Resposta

f é estritamente convexa em S=(2,\infty).

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