Mostre que
é est ritamente convexa sobre
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a função
definida por
é estritamente convexa no conjunto
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta a responder: provar que
é estritamente convexa em
(ou seja, mostrar que para quaisquer
com
e qualquer
vale
).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Isso é mechanical: derivada de
é
, de
é
, de
é
e de
é
. Logo a primeira derivada é
Podemos fatorar para simplificar a leitura:
Agora a segunda derivada (derivada de
) é
Passo 3
Analise do sinal de
em
. Escrevemos
Para qualquer
temos
, portanto
. Multiplicando por
obtém-se
Passo 4
Explicação didática do porquê
implica estrita convexidade. Primeiro, o que significa
intuitivamente: a segunda derivada mede a curvatura;
indica que a inclinação
está crescendo com
, ou seja, as retas secantes ficam “cada vez mais inclinadas” — isso é exatamente a ideia de convexidade estrita (a função “abre para cima” e não é linear em nenhum trecho).
Agora, enunciamos um resultado útil (válido para funções duas vezes diferenciáveis): se uma função
é duas vezes diferenciável num intervalo e
para todo
nesse intervalo, então
é estritamente convexa nesse intervalo. Em seguida eu mostro uma demonstração curta e direta desse fato, para você poder usar na prova.
Passo 5
Demonstração (curta) do resultado: seja
duas vezes diferenciável num intervalo aberto
e suponha
para todo
. Pegue
com
e
. Defina
Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange (aplicável porque
), existem
entre
e
e
entre
e
tais que
Multiplicando a primeira igualdade por
e a segunda por
e somando, obtemos
Como
e
implicam
e
, e como
e
por hipótese, o parêntese é estritamente positivo. Portanto
o que é exatamente a desigualdade de estrita convexidade. Assim a prova do resultado está concluída.
Passo 6
Aplicando o resultado ao nosso
: já vimos que
é
(polinômio) e que
para todo
. Pelo passo anterior, isso implica que
é estritamente convexa em
. Intuitivamente: a curvatura positiva em todo o intervalo garante que qualquer combinação convexa interna cai estritamente abaixo da combinação dos valores.