Determine se a função f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{3} é convexa, côncava ou nenhuma delas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função
f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}x_{2}+2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}-6x_{1}x_{3}
é convexa, côncava ou nenhuma delas.
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x_{1},x_{2},x_{3}. Não há termos lineares isolados nem constantes além dos mostrados; f é um polinômio quadrático em (x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e prática): para funções de classe C^{2} (duas vezes diferenciáveis), como é o caso de polinômios quadráticos, a convexidade/concavidade global pode ser verificada pela matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x)=\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)_{i,j}.
  • Se H(x) for positiva semidefinida (ou seja, todos os autovalores \ge 0) para todo x, então f é convexa.
  • Se H(x) for negativa semidefinida (autovalores \le 0) para todo x, então f é côncava.
    No nosso caso f é quadrática com coeficientes constantes, então a Hessiana será a mesma em todo ponto; basta analisar essa matriz constante.

Passo 3

Calcular as segundas derivadas parciais (vou mostrar passo a passo como obter cada entrada da Hessiana). Primeiro as derivadas primeiras:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = x_{2} + 4x_{1} -6x_{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = x_{1} + 2x_{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{3}} = 4x_{3} -6x_{1}.
Agora as segundas derivadas (cada entrada da Hessiana):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}=4,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=1,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{3}}=-6,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}=2,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{3}}=0, \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{3}^{2}}=4.
Repare que as segundas derivadas mistas concordam por igualdade de Schwarz (matriz simétrica).

Passo 4

Escrever a matriz Hessiana H obtida (matriz simétrica 3\times3):
H=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -6\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] -6 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Essa é a matriz constante que decide convexidade/concavidade.]

Passo 5

Testar se H é definida positiva (o que implicaria convexidade). Um critério prático: critério de Sylvester — para ser definida positiva é necessário e suficiente que todos os menores principais superiores (leading principal minors) sejam positivos. Calcule esses menores:
D_{1}=\det\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}=4>0.
D_{2}=\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-1\cdot1=8-1=7>0.
D_{3}=\det(H).
Vamos calcular \det(H). Expandindo ou usando regra de Sarrus/expansão:
\det(H)= 4\det\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&4\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]-6&4\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]-6&0\end{pmatrix}.
Calcule cada termo:
4(2\cdot4-0)=4\cdot8=32,
-1(1\cdot4-0\cdot(-6))=-4,
-6(1\cdot0-2\cdot(-6))=-6(0+12)=-72.
Somando: \det(H)=32-4-72=-44. Portanto D_{3}=-44<0.
Como D_{3}<0, a condição de Sylvester falha: H não é definida positiva. Logo f não é convexa.]

Passo 6

Testar se H é definida negativa (o que implicaria concavidade). Para ser definida negativa os sinais dos menores principais superiores alternam: D_{1}<0, D_{2}>0, D_{3}<0, … Aqui já temos D_{1}=4>0, ou seja, nem sequer o primeiro sinal bate com o exigido para definida negativa. Portanto H não é definida negativa e f não é côncava.

Passo 7

Para ficar intuitivo e dar garantia prática: se uma forma quadrática assumir valores positivos e negativos em vetores diferentes, então a matriz é indefinida (tem autovalores de sinais diferentes). Vamos avaliar f em dois vetores simples:
  • Para (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,1) temos
f(0,0,1)=2\cdot 1^{2}=2>0.
  • Para (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,0,1) temos
f(1,0,1)= (1)(0)+2\cdot1^{2}+0+2\cdot1^{2}-6\cdot1\cdot1 = 2+2-6=-2<0.
Como f vale >0 em um ponto e <0 em outro, a forma quadrática associada é indefinida: há autovalores positivos e negativos. Isso confirma que H é indefinida, logo f não é nem convexa nem côncava.

Resposta

A função não é convexa nem côncava.

Exercícios relacionados