Determine se a função f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-6 x_{1} x_{3} é convexa, côncava ou nenhuma delas.
é convexa, côncava ou nenhuma delas.
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x_{1},x_{2},x_{3}. Não há termos lineares isolados nem constantes além dos mostrados; f é um polinômio quadrático em (x_{1},x_{2},x_{3}).
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e prática): para funções de classe C^{2} (duas vezes diferenciáveis), como é o caso de polinômios quadráticos, a convexidade/concavidade global pode ser verificada pela matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
Se H(x) for positiva semidefinida (ou seja, todos os autovalores \ge 0) para todo x, então f é convexa.
Se H(x) for negativa semidefinida (autovalores \le 0) para todo x, então f é côncava.
No nosso caso f é quadrática com coeficientes constantes, então a Hessiana será a mesma em todo ponto; basta analisar essa matriz constante.
Passo 3
Calcular as segundas derivadas parciais (vou mostrar passo a passo como obter cada entrada da Hessiana). Primeiro as derivadas primeiras:
Essa é a matriz constante que decide convexidade/concavidade.]
Passo 5
Testar se H é definida positiva (o que implicaria convexidade). Um critério prático: critério de Sylvester — para ser definida positiva é necessário e suficiente que todos os menores principais superiores (leading principal minors) sejam positivos. Calcule esses menores:
Como D_{3}<0, a condição de Sylvester falha: H não é definida positiva. Logo f não é convexa.]
Passo 6
Testar se H é definida negativa (o que implicaria concavidade). Para ser definida negativa os sinais dos menores principais superiores alternam: D_{1}<0, D_{2}>0, D_{3}<0, … Aqui já temos D_{1}=4>0, ou seja, nem sequer o primeiro sinal bate com o exigido para definida negativa. Portanto H não é definida negativa e f não é côncava.
Passo 7
Para ficar intuitivo e dar garantia prática: se uma forma quadrática assumir valores positivos e negativos em vetores diferentes, então a matriz é indefinida (tem autovalores de sinais diferentes). Vamos avaliar f em dois vetores simples:
Como f vale >0 em um ponto e <0 em outro, a forma quadrática associada é indefinida: há autovalores positivos e negativos. Isso confirma que H é indefinida, logo f não é nem convexa nem côncava.