Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
\left\{\begin{aligned}-a+3 b & =x \\\\ 2 a-b & =y \\\\ -2 a+b & =z \\\\ 3 a+b & =t\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em a\) e \(b\): \[\begin{cases} -a + 3b = x,\\\\ 2a - b = y,\\\\ -2a + b = z,\\\\ 3a + b = t. \end{cases}
Como são 4 equações para 2 incógnitas, o sistema só terá solução se houver compatibilidade entre as equações. Vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares para encontrar a\] e \(b a partir das duas primeiras equações e depois impor que as soluções também satisfaçam as duas últimas.

Passo 2

Da primeira equação obtemos
-a + 3b = x \quad\Longrightarrow\quad a = 3b - x.
Substituindo na segunda equação,
2a - b = y \quad\Longrightarrow\quad 2(3b - x) - b = y \quad\Longrightarrow\quad 6b - 2x - b = y \quad\Longrightarrow\quad 5b = y + 2x \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{y + 2x}{5}.
Logo,
a = 3b - x = 3\cdot\frac{y + 2x}{5} - x = \frac{3y + 6x - 5x}{5} = \frac{3y + x}{5}.

Passo 3

Agora substituímos a e b na terceira equação -2a + b = z:
-2\Bigl(\frac{3y + x}{5}\Bigr) + \frac{y + 2x}{5} = \frac{-2(3y + x) + (y + 2x)}{5} = \frac{-6y -2x + y +2x}{5} = \frac{-5y}{5} = -y.
Para que isso seja igual a z, precisamos de
-z = y \quad\Longleftrightarrow\quad z = -\,y.

Passo 4

Substituindo a e b na quarta equação 3a + b = t:
3\Bigl(\frac{3y + x}{5}\Bigr) + \frac{y + 2x}{5} = \frac{9y + 3x + y + 2x}{5} = \frac{10y + 5x}{5} = x + 2y.
Para que isso seja igual a t, é necessário
t = x + 2y.

Resposta

O sistema terá solução se, e somente se,
z = -\,y \quad\text{e}\quad t = x + 2y.

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