Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução: \left\{\begin{aligned} k x+y+z & =1 \\\ x+k y+z & =1, \\\ x+y+k z & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R}\) para que o sistema
\[\begin{cases} k x+y+z =1,\\\ x+k y+z =1,\\\ x+y+k z =1 \end{cases}
tenha (i) uma única solução, (ii) infinitas soluções ou (iii) nenhuma solução.
O que precisamos é (1) montar a matriz de coeficientes A\], (2) calcular \(\det(A) para ver quando o sistema é singular ou não e (3) analisar a consistência quando A é singular.
Passo 2
A matriz de coeficientes e o vetor dos termos constantes são
A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1\\\\ 1 & k & 1\\\\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
O sistema tem solução única sempre que \det(A)\neq0.
Passo 3
Para esse tipo de matriz com todos os elementos de fora da diagonal iguais a 1, sabe-se que os autovalores são k+2 (multiplicidade 1) e k-1 (multiplicidade 2). Logo
\det(A) = (k+2)\,(k-1)^2.
Assim, \det(A)=0 se, e somente se, k+2=0 ou k-1=0, isto é, k=-2 ou k=1.
Passo 4
Como \det(A)\neq0 exatamente para k\neq1 e k\neq-2, nesses valores o sistema tem solução única.
Para k=1 ou k=-2 temos \det(A)=0 e devemos verificar a consistência:
Se k=1, todas as três equações passam a ser
x+y+z=1,
repetida três vezes, sem contradição. Logo há infinitas soluções (um grau de liberdade).