Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+3 y+2 z & =2 \\\\ 3 x+5 y+4 z & =4, \\\\ 5 x+3 y+4 z & =-10\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 3y + 2z = 2,\\\\ 3x + 5y + 4z = 4,\\\\ 5x + 3y + 4z = -10 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan e classificar o sistema. Vamos montar a matriz aumentada e escalonar até a forma reduzida.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas embaixo da coluna de x:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 3 & 5 & 4 & 4\\\\ 5 & 3 & 4 & -10 \end{array}\right].
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1 obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\\\ 0 & -4 & -2 & -2\\\\ 0 & -12 & -6 & -20 \end{array}\right].

Passo 3

Agora normalizamos a segunda linha: R_2 \leftarrow -\tfrac14 R_2, e em seguida usamos R_2 para zerar as outras entradas na coluna de y:
R_2 = \bigl[\,0\;\;1\;\;\tfrac12\;\;\tfrac12\,\bigr],\quad R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 12R_2.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{array}\right].

Passo 4

A terceira linha dá a equação 0x+0y+0z = -14, ou seja, 0=-14, que é impossível. Logo o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução).

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