Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rr}2 x-y+3 z= & 11 \\\\ 4 x-3 y+2 z= & 6 \\\ x+y+z= & 0 \\\\ 3 x+y+z= & 4\end{array}\right.,

Passo 1

Resumindo: temos um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas (x,y,z). O objetivo é usar o método de Gauss–Jordan para chegar à forma reduzida por linhas do sistema ampliado e, a partir dela, determinar se há solução e, em caso afirmativo, encontrá-la; caso contrário, classificar como incompatível.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada do sistema, colocando as três colunas das incógnitas e, à direita, a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 11\\\\ 4 & -3 & 2 & 6\\\\ 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right]

Passo 3

Para o pivô da coluna 1, trocamos a linha 1 pela linha 3 (que já tem 1 na posição (1,1)). Em seguida anulamos os elementos abaixo desse pivô:
\begin{aligned} R_1 &\leftrightarrow R_3,\\\ R_2 &\gets R_2 - 4\,R_1,\\\ R_3 &\gets R_3 - 2\,R_1,\\\ R_4 &\gets R_4 - 3\,R_1. \end{aligned}
O que leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -7 & -2 & 6\\\\ 0 & -3 & 1 & 11\\\\ 0 & -2 & -2 & 4 \end{array}\right].

Passo 4

Agora usamos o elemento -7 em (2,2) como pivô da coluna 2: dividimos R_2 por -7 e depois anulamos acima e abaixo desse pivô:
\begin{aligned} R_2 &\gets -\tfrac{1}{7}\,R_2,\\\ R_1 &\gets R_1 - R_2,\\\ R_3 &\gets R_3 + 3\,R_2,\\\ R_4 &\gets R_4 + 2\,R_2. \end{aligned}
Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{5}{7} & \tfrac{6}{7}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{6}{7}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{13}{7} & \tfrac{59}{7}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{10}{7} & \tfrac{16}{7} \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, tomamos \tfrac{13}{7} em (3,3) como pivô da coluna 3, dividimos R_3 por \tfrac{13}{7} e anulamos nas outras linhas:
\begin{aligned} R_3 &\gets \tfrac{7}{13}\,R_3,\\\ R_1 &\gets R_1 - \tfrac{5}{7}R_3,\\\ R_2 &\gets R_2 - \tfrac{2}{7}R_3,\\\ R_4 &\gets R_4 + \tfrac{10}{7}R_3. \end{aligned}
Na linha 4 surge então
[\,0\;\;0\;\;0\mid\;\tfrac{114}{13}\,],
ou seja, 0 = \tfrac{114}{13}, que é uma contradição.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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