Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
rl3 x-7 y & =a x+y & =b 5 x+3 y & =5 a+2 b x+2 y & =a+b-1,

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em duas incógnitas
Como há mais equações do que incógnitas, o sistema só tem solução se as últimas duas equações forem consequências das duas primeiras. Vamos, então, usar as duas primeiras para expressar em função de e impor que essas expressões também satisfaçam a terceira e a quarta equação.

Passo 2

Da segunda equação ;x + y = b; obtemos
x = b - y
Substituindo em ;3x - 7y = a; temos
3(b - y) - 7y = a ;Longrightarrow; 3b - 3y - 7y = a ;Longrightarrow; 3b - 10y = a ;Longrightarrow; y = 3b - a10
Logo
x = b - 3b - a10 = 10b - (3b - a)10 = 7b + a10

Passo 3

Substituímos x e y na terceira equação 5x + 3y = 5a + 2b:
5cdot7b + a10 ;+; 3cdot3b - a10 = 35b + 5a + 9b - 3a10 = 44b + 2a10 = a + 22b5
Para consistência precisamos
a + 22b5 = 5a + 2b ;Longrightarrow; a + 22b = 25a + 10b ;Longrightarrow; 12b = 24a ;Longrightarrow; b = 2a

Passo 4

Agora impomos a quarta equação x + 2y = a + b - 1. O lado esquerdo vale
7b + a10 ;+; 2cdot3b - a10 = 7b + a + 6b - 2a10 = 13b - a10
Então
13b - a10 = a + b - 1 ;Longrightarrow; 13b - a = 10a + 10b - 10 ;Longrightarrow; 3b - 11a + 10 = 0
Substituindo b = 2a obtemos
3(2a) - 11a + 10 = 0 ;Longrightarrow; 6a - 11a + 10 = 0 ;Longrightarrow; -5a + 10 = 0 ;Longrightarrow; a = 2,
e daí b = 2a = 4.

Resposta

Os únicos valores de a e b que tornam o sistema compatível são
a = 2, b = 4

Exercícios relacionados