Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
x+2 y & =a -3 x+4 y & =b, 2 x-y & =c

Passo 1

Temos um sistema de três equações em duas incógnitas:
Queremos encontrar a condição entre , e para que esse sistema seja consistente (ou seja, tenha solução).

Passo 2

Usamos as duas primeiras equações para determinar y. Multiplicando x+2y=a por 3:
3x + 6y = 3a,
e somando com -3x+4y=b obtemos
10y = 3a + b Longrightarrow y = 3a + b10

Passo 3

Substituímos y em x + 2y = a para achar x:
x = a - 2y = a - 2cdot3a + b10 = 4a - 2b10 = 2a - b5

Passo 4

Para o sistema ser consistente, a terceira equação 2x - y = c deve ser satisfeita pelos x e y encontrados. Calculamos:
2x - y = 2cdot2a - b5 - 3a + b10 = 4a - 2b5 - 3a + b10 = 8a -4b -3a -b10 = a - b2
Logo, é necessário que
c = a - b2

Resposta

A condição para que o sistema tenha solução é
c = a - b2,
ou, equivalentemente,
a - b - 2c = 0

Exercícios relacionados