Encontre a solução geral do sistema abaixo:
l 2 x-3 y+z-w=4 -y-z+2 w=3 3 z+w=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é encontrar todas as possíveis soluções para um sistema de equações lineares com quatro variáveis: x, y, z e w. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como substituição e eliminação, para simplificar as equações e chegar à solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as três equações que temos:
2x - 3y + z - w = 4 - y - z + 2w = 3 3z + w = 2
Vamos começar pelas equações que têm menos variáveis para facilitar a resolução. A terceira equação, 3z + w = 2, envolve apenas z e w, então podemos resolvê-la para uma das variáveis.

Passo 3

Vamos resolver a terceira equação para w:
3z + w = 2 Rightarrow w = 2 - 3z
Agora temos w em termos de z, o que nos ajudará a simplificar as outras equações.

Passo 4

Com w = 2 - 3z, vamos substituir esse valor na segunda equação:
- y - z + 2w = 3 Rightarrow - y - z + 2(2 - 3z) = 3 Rightarrow - y - z + 4 - 6z = 3 Rightarrow - y - 7z + 4 = 3 Rightarrow - y - 7z = -1 Rightarrow y + 7z = 1 Rightarrow y = 1 - 7z
Agora temos y em termos de z.

Passo 5

Com w = 2 - 3z e y = 1 - 7z, vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar x:
2x - 3y + z - w = 4 Rightarrow 2x - 3(1 - 7z) + z - (2 - 3z) = 4 Rightarrow 2x - 3 + 21z + z - 2 + 3z = 4 Rightarrow 2x + 25z - 5 = 4 Rightarrow 2x + 25z = 9 Rightarrow 2x = 9 - 25z Rightarrow x = 9 - 25z2 Rightarrow x = 92 - 252z
Agora, temos x em termos de z.

Passo 6

Até agora, conseguimos expressar x, y e w em termos de z. Como temos uma variável livre ( z), podemos considerá-la como um parâmetro livre, digamos t. Então, podemos escrever:
z = t
Substituindo t nas expressões encontradas:
x = 92 - 252t y = 1 - 7t w = 2 - 3t

Resposta

A solução geral do sistema é dada por
x = dfrac92 - dfrac252t y = 1 - 7t z = t w = 2 - 3t
onde t é um número real qualquer.

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