Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
(-a+3 b & =x 2 a-b & =y -2 a+b & =z 3 a+b & =t

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em e com quatro equações e parâmetros :
O conteúdo envolvido é a compatibilidade de um sistema overdeterminado: como há mais equações do que incógnitas, elas só têm solução se as equações forem linearmente dependentes de modo consistente.

Passo 2

Note que a terceira equação
-2a + b = z
é exatamente o negativo da segunda
2a - b = y,
pois (-1)times(2a - b)= -2a + b. Logo, para que não surja a contradição
-2a + b = ze -2a + b = -y,
é necessário que
z = -y

Passo 3

Observe também que a quarta equação
3a + b = t
pode ser obtida como combinação da primeira com o dobro da segunda, pois
(-a+3b) + 2,(2a - b) = -a+3b +4a -2b = 3a + b
Em termos dos termos independentes, isso impõe
t = x + 2y

Resposta

O sistema tem solução se, e somente se,
z = -y e t = x + 2y

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