Determine as condições que devem ser satisfeitas por a, b e c para garantir que o sistema de equações
x+y+z & =a x+z & =b 2 x+y+3 z & =c
seja consistente, isto é, admita ao menos uma solução.

Passo 1

O enunciado pede as condições em a,b,c para que o sistema linear
x+y+z = a, x + z = b, 2x + y + 3z = c
admita ao menos uma solução. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e uso de determinante ou posto (rank) para avaliar consistência.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e verificamos seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e o sistema tem solução única para qualquer vetor de termos independentes (a,b,c).

Passo 3

A matriz de coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3
Calculamos
det(A) =1cdot0&11&3 -1cdot1&12&3 +1cdot1&02&1 =1,(0cdot3-1cdot1)-1,(1cdot3-1cdot2)+1,(1cdot1-0cdot2) =-1-1+1=-1

Passo 4

Como det(A)=-1neq0, a matriz de coeficientes é invertível. Logo o posto da matriz de coeficientes é 3, e o posto da matriz aumentada também será 3 para qualquer (a,b,c). Portanto o sistema é consistente e tem solução única para todo a,b,cinR.

Resposta

O sistema é consistente para todos os valores de a,b,c.

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