Determine a equação do plano que contém o ponto A(3,4,6) e a reta r:cx=t y=3-t z=3+2 t.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano em R^3 que contém um ponto A(3,4,6) e a reta
r: x = t, y = 3 - t, z = 3 + 2t
Conteúdo: geometria analítica no espaço, vetor normal a um plano obtido por produto vetorial de dois vetores contidos no plano.

Passo 2

Extraímos da reta r
  1. Um ponto qualquer P0 escolhendo t=0:
P0 = (0,,3,,3)
  1. O vetor direção de r, digamos vec v, pelos coeficientes de t:
vec v = (1,,-1,,2)

Passo 3

Como o plano deve conter P0 e também o ponto A(3,4,6), o vetor
P0A = A - P0 = (3-0,;4-3,;6-3) = (3,,1,,3)
também está contido no plano.

Passo 4

O vetor normal vec n ao plano é perpendicular a vec v e a P0A. Logo, fazemos o produto vetorial:
vec n = vec v times P0A = i & j & k 1 & -1 & 2 3 & 1 & 3 = (-5,,3,,4)

Passo 5

A equação de um plano com vetor normal vec n = (n1,n2,n3) passando por A(x0,y0,z0) é
n1(x-x0) + n2(y-y0) + n3(z-z0) = 0
Substituindo vec n = (-5,3,4) e A(3,4,6):
-5(x-3) + 3(y-4) + 4(z-6) = 0
Distribuindo e simplificando:
-5x +15 +3y -12 +4z -24 = 0 Longrightarrow -5x +3y +4z -21 = 0
Multiplicando por -1 para ficar mais “bonito”:
5x - 3y - 4z + 21 = 0

Resposta

A equação do plano é
5x - 3y - 4z + 21 = 0

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