Determine as condições sobre os naturais b e d, b>1 e d>1, a fim de que (14)b=(22)d.

Passo 1

Temos os números em base b e d, respectivamente (14)b e (22)d. O conteúdo é conversão de sistemas de numeração posicional; vamos precisar usar a definição de valor de um número em base b (ou d).

Passo 2

Convertendo para decimal, obtemos (14)b = 1cdot b + 4 = b + 4 e (22)d = 2cdot d + 2 = 2d + 2. Igualando esses valores para que sejam o mesmo número em base decimal:

Passo 3

b + 4 = 2d + 2

Passo 4

Isolando b na equação acima, encontramos

Passo 5

b = 2d - 2

Passo 6

Agora aplicamos as restrições de validade de dígitos: para (14)b é necessário que b > 4 (pois o dígito “4” deve existir em base b), e para (22)d é necessário que d > 2 (pois o dígito “2” deve existir em base d). Substituindo b = 2d - 2 na condição b > 4

Passo 7

2d - 2 > 4 implies d > 3 implies d >= 4

Passo 8

Logo a condição completa é dada por d >= 4 e b = 2d - 2.

Resposta

Os pares (b,d) que satisfazem são todos aqueles com dinN, d>=4 e b = 2d - 2.

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