Mostre que em todo sistema de numeração de base b>2, o número (121) b é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o numeral “121” em base b>2 é um quadrado perfeito. O conteúdo aqui é sistema de numeração posicional e fatoração de polinômios.

Passo 2

Em base b, o número (121)b vale:

Passo 3

(121)b = 1cdot b^2 + 2cdot b + 1

Passo 4

Reconhecemos que a expressão b^2 + 2b + 1 é um quadrado perfeito de binômio, pois

Passo 5

b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2

Passo 6

Logo, em qualquer base b>2, o número (121)b equivale a (b+1)^2, que é um quadrado perfeito.

Resposta

(121)b = (b+1)^2, logo é sempre um quadrado perfeito.

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