Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(A B)=0. Mostre que ou A é não invertível ou B é não invertível.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas e que det(AB)=0. O que vamos usar é a propriedade multiplicativa do determinante e o critério de invertibilidade:
– Propriedade do determinante:
det(AB)=det(A),det(B)
– Critério de invertibilidade: uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Aplicando a propriedade, obtemos
det(AB)=det(A),det(B)=0
Para que o produto det(A),det(B) seja zero, temos obrigatoriamente
det(A)=0oudet(B)=0
Se det(A)=0, então A não é invertível; se det(B)=0, então B não é invertível.

Resposta

Se det(AB)=0, então ou A é não invertível ou B é não invertível.

Exercícios relacionados