determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{-1}\left{\frac{e{-\pi s}}{s^{2}+1}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1}\Bigr\}.
O conteúdo é o teorema do deslocamento no tempo para a transformada de Laplace.

Passo 2

Recordamos o teorema de deslocamento no tempo: se
\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s),
então
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
onde u(t) é a função de Heaviside.

Passo 3

Identificamos em nosso caso
\;F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}\quad\Longrightarrow\quad f(t)=\sin(t),
pois sabemos que \mathscr{L}\{\sin(t)\}=1/(s^{2}+1).

Passo 4

Aplicando o teorema de deslocamento com a=\pi, obtemos
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{e^{-\pi s}\,\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\}=\sin(t-\pi)\,u(t-\pi).

Resposta

\boxed{f(t)=\sin(t-\pi)\,u(t-\pi).}

Exercícios relacionados