determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}^{-1}\left{\frac{s e^{-\pi s / 2}}{s^{2}+4}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\biggl\{\frac{s\,e^{-\pi s/2}}{s^{2}+4}\biggr\}.
O conteúdo principal é o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}(t)=f(t-a)\,u(t-a),
onde u(t-a) é o degrau de Heaviside.

Passo 2

Sem o fator exponencial e^{-\pi s/2}, temos
F_{0}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Sabemos que
\mathscr{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4},
logo a transformada inversa é
f_{0}(t)=\cos(2t).

Passo 3

Aplicando o teorema do deslocamento no tempo com a=\pi/2, obtemos
\mathscr{L}^{-1}\bigl\{e^{-(\pi/2)s}F_{0}(s)\bigr\}(t) =f_{0}\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\cos\!\bigl(2(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,u\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

f(t)=\cos\!\bigl(2(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\,u\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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