determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{-1}\left{\frac{e{-2 s}}{s^{3}}\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{e^{-2s}}{s^3},
isto é, encontrar f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\} = e^{-2s}/s^3. Vamos usar o Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda tradução).

Passo 2

Primeiro calculamos a inversa de
\frac{1}{s^3}.
Sabendo que \mathscr{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}, temos para n=2:
\mathscr{L}\{\tfrac{t^2}{2}\} = \frac{2!}{s^{3}} = \frac{1}{s^3}.
Logo, se chamarmos essa função de g(t), então
g(t) = \frac{t^2}{2}.

Passo 3

Pelo Teorema do Deslocamento no Tempo,
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-2s}G(s)\} = g(t-2)\,u(t-2),
onde u(t-2) é a função de Heaviside. Assim,
f(t) = g(t-2)\,u(t-2) = \frac{(t-2)^2}{2}\;u(t-2).

Resposta

f(t) = \frac{(t-2)^2}{2}\;u(t-2).

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